а) Решите уравнение $6\sin^2x + 7\cos x - 1 = 0$

а) Решим уравнение $6\sin^2x + 7\cos x - 1 = 0$. Для начала заменим $\sin^2x$ на $1 - \cos^2x$ (это основное тригонометрическое тождество): $$6(1 - \cos^2x) + 7\cos x - 1 = 0$$ $$6 - 6\cos^2x + 7\cos x - 1 = 0$$ $$-6\cos^2x + 7\cos x + 5 = 0$$ Умножим всё на $-1$, чтобы перед $\cos^2x$ был плюс: $$6\cos^2x - 7\cos x - 5 = 0$$ Теперь сделаем замену переменной: пусть $t = \cos x$. Так как косинус может принимать значения только от $-1$ до $1$, то $-1 \le t \le 1$. $$6t^2 - 7t - 5 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-5) = 49 + 120 = 169$$ $$t = \frac{-(-7) \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 \pm 13}{12}$$ Находим два значения для $t$: $$t_1 = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$ $$t_2 = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$ Вспоминаем, что $-1 \le t \le 1$. Значение $t_1 = \frac{5}{3}$ не подходит, так как $\frac{5}{3} > 1$. Значение $t_2 = -\frac{1}{2}$ подходит. Возвращаемся к замене: $\cos x = t_2$. $$\cos x = -\frac{1}{2}$$ Общее решение для этого уравнения: $$x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$ Значит, корни уравнения: $$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ б) Теперь найдем корни, которые принадлежат отрезку $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]$. Переведем границы отрезка в десятичные дроби для удобства: $-\frac{7\pi}{2} = -3,5\pi$ и $-\frac{5\pi}{2} = -2,5\pi$. Рассмотрим первый случай: $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. $$-3,5\pi \le \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -2,5\pi$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-3,5 \le \frac{2}{3} + 2n \le -2,5$$ Вычтем $\frac{2}{3}$ из всех частей: $$-3,5 - \frac{2}{3} \le 2n \le -2,5 - \frac{2}{3}$$ $$-3\frac{1}{2} - \frac{2}{3} \le 2n \le -2\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$$ $$- \frac{7}{2} - \frac{2}{3} \le 2n \le - \frac{5}{2} - \frac{2}{3}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (6): $$- \frac{21}{6} - \frac{4}{6} \le 2n \le - \frac{15}{6} - \frac{4}{6}$$ $$- \frac{25}{6} \le 2n \le - \frac{19}{6}$$ Разделим все части на 2: $$- \frac{25}{12} \le n \le - \frac{19}{12}$$ $$-2,083... \le n \le -1,583...$$ Единственное целое значение $n$ в этом промежутке — $n = -2$. Подставим $n = -2$ в формулу $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $$x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi (-2) = \frac{2\pi}{3} - 4\pi = \frac{2\pi}{3} - \frac{12\pi}{3} = -\frac{10\pi}{3}$$ Рассмотрим второй случай: $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$. $$-3,5\pi \le -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \le -2,5\pi$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-3,5 \le -\frac{2}{3} + 2n \le -2,5$$ Прибавим $\frac{2}{3}$ ко всем частям: $$-3,5 + \frac{2}{3} \le 2n \le -2,5 + \frac{2}{3}$$ $$- \frac{7}{2} + \frac{2}{3} \le 2n \le - \frac{5}{2} + \frac{2}{3}$$ Приведем дроби к общему знаменателю (6): $$- \frac{21}{6} + \frac{4}{6} \le 2n \le - \frac{15}{6} + \frac{4}{6}$$ $$- \frac{17}{6} \le 2n \le - \frac{11}{6}$$ Разделим все части на 2: $$- \frac{17}{12} \le n \le - \frac{11}{12}$$ $$-1,416... \le n \le -0,916...$$ Единственное целое значение $n$ в этом промежутке — $n = -1$. Подставим $n = -1$ в формулу $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$: $$x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi (-1) = -\frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3} - \frac{6\pi}{3} = -\frac{8\pi}{3}$$ Проверим, входят ли найденные корни в заданный отрезок: $-\frac{10\pi}{3} \approx -10,47$ и $-\frac{8\pi}{3} \approx -8,38$. Отрезок: $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right] = [-3,5\pi; -2,5\pi] \approx [-10,99; -7,85]$. Оба корня $-\frac{10\pi}{3}$ и $-\frac{8\pi}{3}$ входят в этот отрезок. **Ответ:** а) $x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$ б) $-\frac{10\pi}{3}, -\frac{8\pi}{3}$