Для данной функции найти первообразную, график которой проходит через точку М

Для нахождения первообразной $F(x)$, график которой проходит через заданную точку $M(x_0; y_0)$, нужно найти общий вид первообразной и подставить координаты точки для вычисления константы $C$. 1) $y = \frac{1}{x^2} = x^{-2}, M(2; 3)$ Общий вид первообразной: $F(x) = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ Подставим координаты точки $M$: $3 = -\frac{1}{2} + C$ $C = 3 + 0,5 = 3,5$ **Ответ: $F(x) = -\frac{1}{x} + 3,5$** 2) $y = \frac{5}{4\sqrt[4]{x}} = \frac{5}{4}x^{-\frac{1}{4}}, M(1; 2)$ Общий вид первообразной: $F(x) = \int \frac{5}{4}x^{-\frac{1}{4}} dx = \frac{5}{4} \cdot \frac{x^{\frac{3}{4}}}{\frac{3}{4}} + C = \frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}x^{\frac{3}{4}} + C = \frac{5}{3}\sqrt[4]{x^3} + C$ Подставим координаты точки $M$: $2 = \frac{5}{3} \cdot \sqrt[4]{1^3} + C$ $2 = \frac{5}{3} + C$ $C = 2 - 1\frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ **Ответ: $F(x) = \frac{5}{3}\sqrt[4]{x^3} + \frac{1}{3}$** 3) $y = x^3 - x^2 - 5\sin 2x, M(0; 1)$ Общий вид первообразной: $F(x) = \int (x^3 - x^2 - 5\sin 2x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + \frac{5}{2}\cos 2x + C$ Подставим координаты точки $M$: $1 = \frac{0^4}{4} - \frac{0^3}{3} + \frac{5}{2}\cos(0) + C$ $1 = 0 - 0 + \frac{5}{2} \cdot 1 + C$ $1 = 2,5 + C$ $C = 1 - 2,5 = -1,5$ **Ответ: $F(x) = \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3} + 2,5\cos 2x - 1,5$**