Найти первообразную для функции $f(x) = \frac{2}{x^4}$, график которой проходит через точку $M(2; -1)$.

Чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{x^4}$, нужно проинтегрировать $f(x)$. Сначала перепишем $f(x)$ в виде степени: $$f(x) = 2x^{-4}$$ Теперь найдем первообразную по правилу интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$: $$F(x) = \int 2x^{-4} dx = 2 \cdot \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C = 2 \cdot \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{2}{3x^3} + C$$ Теперь нужно найти значение константы $C$, используя условие, что график первообразной проходит через точку $M(2; -1)$. Это значит, что при $x=2$, $F(x)=-1$. Подставляем значения в найденную первообразную: $$-1 = -\frac{2}{3 \cdot (2)^3} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{3 \cdot 8} + C$$ $$-1 = -\frac{2}{24} + C$$ $$-1 = -\frac{1}{12} + C$$ Теперь найдем $C$: $$C = -1 + \frac{1}{12}$$ $$C = -\frac{12}{12} + \frac{1}{12}$$ $$C = -\frac{11}{12}$$ Значит, искомая первообразная: $$F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$$ **Ответ:** $F(x) = -\frac{2}{3x^3} - \frac{11}{12}$