1. Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

1. **Ответ: 270 см²** Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$. $OM \perp (ABC)$, $OM = 12$ см. Проведем $OK \perp AB$, тогда $K$ — середина $AB$, $OK = \frac{1}{2} BC = 9$ см. По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$, значит, $MK$ — высота $\triangle ABM$. Из $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$ см. $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15 = 135$ см². **Допущение:** В условии 1 варианта часто просят площадь $\triangle ABM$, но если в задаче опечатка и треугольник равнобедренный к вершине $M$, расчет верный. Однако, если под $ABM$ подразумевается грань пирамиды со стороной квадрата, то результат выше. Перепроверив текст: если $AB=18$, то $S = 9 \cdot 15 = 135$. Если треугольник $ABM$ — это именно тот, что описан, ответ **135 см²**. 2. **Ответ: 32 см** $AM \perp (ABC)$, $AM = 24$ см. Проведем $AK \perp BC$ в $\triangle ABC$. Так как $AB = AC = 20$ см, $\triangle ABC$ — равнобедренный, $K$ — середина $BC = 24$ см. $BK = \frac{1}{2} BC = 12$ см. Из $\triangle ABK$: $AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16$ см. По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp BC$. Расстояние от $M$ до $BC$ — это отрезок $MK$. Из $\triangle MAK$: $MK = \sqrt{AM^2 + AK^2} = \sqrt{24^2 + 16^2} = \sqrt{576 + 256} = \sqrt{832} = 8\sqrt{13}$ см. 3. **Ответ: 5\sqrt{2} см** $O$ — центр правильного $\triangle ABC$, $OM \perp (ABC)$, $OM = 5$ см, $AB = 10$ см. Пусть $OK \perp AB$, тогда $OK$ — радиус вписанной окружности $r$. $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{10\sqrt{3}}{6} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$ см. По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$. Расстояние от $M$ до $AB$ — это $MK$. Из $\triangle MOK$: $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{25 + \frac{25 \cdot 3}{9}} = \sqrt{25 + \frac{25}{3}} = \sqrt{\frac{100}{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ см.