Из центра O квадрата ABCD со стороной 8 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM длиной 10 см. Найдите площадь треугольника ABM.

1. Чтобы найти площадь треугольника ABM, нам нужно найти его основание и высоту. В данном случае удобнее всего принять AB за основание. Высотой будет отрезок, проведённый из точки M к прямой AB и перпендикулярный ей. Квадрат ABCD со стороной 8 см. Значит, $AB = 8$ см. Точка O — центр квадрата. Диагональ квадрата $AC = BD = AB \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ см. Расстояние от центра квадрата до вершины: $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см. Перпендикуляр OM проведён к плоскости квадрата, значит, OM перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O. В частности, $OM \perp OA$ и $OM \perp OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник AOM. Гипотенуза $AM = \sqrt{OA^2 + OM^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 10^2} = \sqrt{16 \cdot 2 + 100} = \sqrt{32 + 100} = \sqrt{132}$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник BOM. Гипотенуза $BM = \sqrt{OB^2 + OM^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 10^2} = \sqrt{132}$ см. Так как $AM = BM$, треугольник ABM — равнобедренный. Пусть H — середина AB. Тогда OH — высота треугольника AOB (если смотреть на AOB как на треугольник в плоскости квадрата). OH также перпендикулярно AB. Расстояние от центра квадрата до середины стороны: $OH = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ см. Поскольку OM перпендикулярно плоскости квадрата, а OH лежит в этой плоскости, то $OM \perp OH$. В треугольнике MOH, MH будет высотой треугольника ABM, так как $OH \perp AB$ и $OM \perp OH$, то по теореме о трёх перпендикулярах $MH \perp AB$. Найдем MH по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике MOH: $MH = \sqrt{OM^2 + OH^2} = \sqrt{10^2 + 4^2} = \sqrt{100 + 16} = \sqrt{116}$ см. Площадь треугольника ABM: $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \sqrt{116} = 4\sqrt{116}$ см$^2$. Можно упростить: $4\sqrt{116} = 4\sqrt{4 \cdot 29} = 4 \cdot 2 \sqrt{29} = 8\sqrt{29}$ см$^2$. **Ответ: $8\sqrt{29}$ см$^2$**