Из вершины A прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр AK к его плоскости, расстояние от конца которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину перпендикуляра.

**1. Решение:** Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $AK \perp (ABC)$, $KB = 6$ м, $KD = 7$ м, $KC = 9$ м. Найти: $AK$. Пусть $AK = x$, $AB = a$, $AD = b$. По теореме Пифагора для прямоугольных треугольников: 1) $\triangle KAB: AK^2 + AB^2 = KB^2 \Rightarrow x^2 + a^2 = 6^2 = 36$ 2) $\triangle KAD: AK^2 + AD^2 = KD^2 \Rightarrow x^2 + b^2 = 7^2 = 49$ 3) $\triangle KAC: AK^2 + AC^2 = KC^2$. Так как в прямоугольнике $AC^2 = AB^2 + AD^2 = a^2 + b^2$, то $x^2 + a^2 + b^2 = 9^2 = 81$. Сложим первые два уравнения: $(x^2 + a^2) + (x^2 + b^2) = 36 + 49 = 85$. Вычтем третье уравнение: $(2x^2 + a^2 + b^2) - (x^2 + a^2 + b^2) = 85 - 81$. $x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$. **Ответ: 2 м.** **2. Решение:** Дано: $ABCD$ — квадрат, $AE \perp (ABC)$, $AE = 2$ дм, $AB = 8$ дм. Найти: расстояние от $E$ до $BD$. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $AC \perp BD$ (свойство квадрата). По теореме о трех перпендикулярах, так как $AO \perp BD$, то $EO \perp BD$. Значит, $EO$ — искомое расстояние. 1) Диагональ квадрата $AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ дм. 2) $AO = \frac{1}{2} AC = 4\sqrt{2}$ дм. 3) Из $\triangle EAO$ по теореме Пифагора ($AE \perp AO$): $EO^2 = AE^2 + AO^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 32 = 36$. $EO = \sqrt{36} = 6$ дм. **Ответ: 6 дм.** **3. Решение:** Дано: $\triangle ABC$, $D \in AB$, $BD : BA = 1 : 3$, плоскость $\alpha \parallel AC$, $D \in \alpha$, $\alpha \cap BC = D_1$, $DD_1 = 4$ см. Найти: $AC$. 1) Так как плоскость проходит через $D$, параллельна $AC$ и пересекает грань по $DD_1$, то $DD_1 \parallel AC$ (по свойству параллельности прямой и плоскости). 2) Из параллельности следует подобие треугольников: $\triangle BDD_1 \sim \triangle BAC$ (по двум углам). 3) Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: $k = \frac{BD}{BA} = \frac{1}{3}$. 4) Значит, $\frac{DD_1}{AC} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 3 \cdot DD_1 = 3 \cdot 4 = 12$ см. **Ответ: 12 см.**