1. Из центра O квадрата ABCD со стороной 12 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM длиной 8 см. Найдите площадь треугольника ABM.

1. **Ответ: 60 см²** Решение: 1) Проведем $OK \perp AB$. Так как $O$ — центр квадрата $ABCD$, то $K$ — середина $AB$, и $OK = \frac{1}{2} AD = 6$ см. 2) По теореме о трех перпендикулярах $MK \perp AB$, значит $MK$ — высота $\triangle ABM$. 3) Из прямоугольного $\triangle MOK$ (где $\angle MOK = 90^\circ$): $$MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = 10 \text{ (см)}$$ 4) Площадь треугольника: $$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 = 60 \text{ (см²)}$$ 2. **Ответ: 30 см** Решение: 1) Пусть $AK$ — высота равнобедренного $\triangle ABC$ ($AB=AC$). В равнобедренном треугольнике высота к основанию является медианой: $BK = KC = 36 / 2 = 18$ см. 2) Из $\triangle ABK$: $$AK = \sqrt{AB^2 - BK^2} = \sqrt{30^2 - 18^2} = \sqrt{900 - 324} = \sqrt{576} = 24 \text{ (см)}$$ 3) Так как $AM \perp (ABC)$ и $AK \perp BC$, то по теореме о трех перпендикулярах $MK \perp BC$. Расстояние от $M$ до $BC$ — это длина отрезка $MK$. 4) Из $\triangle MAK$: $$MK = \sqrt{AM^2 + AK^2} = \sqrt{18^2 + 24^2} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \text{ (см)}$$ 3. **Ответ: 7\sqrt{2} см** Решение: 1) В правильном $\triangle ABC$ точка $O$ — центр (точка пересечения медиан, высот). Расстояние от центра до стороны ($OK$) равно радиусу вписанной окружности $r$. $$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{14\sqrt{3}}{6} = \frac{7\sqrt{3}}{3} \text{ (см)}$$ 2) По теореме о трех перпендикулярах искомое расстояние — гипотенуза $MK$ в $\triangle MOK$: $$MK = \sqrt{OM^2 + OK^2} = \sqrt{7^2 + \left(\frac{7\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{49 \cdot 3}{9}} = \sqrt{49 + \frac{49}{3}} = \sqrt{\frac{49 \cdot 4}{3}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3} \approx 8,08 \text{ (см)}$$ **Допущение:** В задаче 3 под «расстоянием» обычно подразумевается перпендикуляр. Если $OM=7$ и $OK=r$, расчет выше верен. Перепроверь условие $OM$ и $AM$, так как часто числа подбираются для целых ответов.