Из центра O квадрата ABCD со стороной 18 см к его плоскости проведен перпендикуляр OM длиной 12 см. Найдите площадь треугольника ABM.

1. Из центра $O$ квадрата $ABCD$ со стороной $18$ см к его плоскости проведен перпендикуляр $OM$ длиной $12$ см. Найдите площадь треугольника $ABM$. Дано: Квадрат $ABCD$, сторона $AB = 18$ см Перпендикуляр $OM = 12$ см Найти: Площадь треугольника $ABM$. Решение: Поскольку $OM$ — перпендикуляр к плоскости квадрата, то $OM \perp AB$. Рассмотрим треугольник $AOB$. $O$ — центр квадрата, поэтому $AO = BO = CO = DO$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{18^2 + 18^2} = \sqrt{2 \cdot 18^2} = 18\sqrt{2}$ см. Тогда $AO = BO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 18\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$ см. В треугольнике $ABM$, основание $AB = 18$ см. Нам нужно найти высоту треугольника $ABM$, опущенную на сторону $AB$. Пусть это будет высота $MH$. Поскольку $OM \perp$ плоскости $ABCD$, то $OM$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через $O$. Проведем $OH \perp AB$. $OH$ — это расстояние от центра квадрата до стороны $AB$. В квадрате $OH = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9$ см. Рассмотрим прямоугольный треугольник $MOH$ (так как $OM \perp OH$). По теореме Пифагора: $MH^2 = OM^2 + OH^2$ $MH^2 = 12^2 + 9^2$ $MH^2 = 144 + 81$ $MH^2 = 225$ $MH = \sqrt{225}$ $MH = 15$ см. Теперь найдем площадь треугольника $ABM$ по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MH$ $S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 15$ $S_{ABM} = 9 \cdot 15$ $S_{ABM} = 135$ см$^2$. **Ответ: $135$ см$^2$**