1. Дан равносторонний треугольник ABC, точка M - середина стороны BC. Прямая AK перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что KM ⊥ BC.

1. **Доказательство:** Так как $\triangle ABC$ равносторонний и $M$ — середина $BC$, то медиана $AM$ является также высотой, следовательно, $AM \perp BC$. Так как $AK \perp (ABC)$, то $AK$ — перпендикуляр к плоскости, а $KM$ — наклонная к этой плоскости. Отрезок $AM$ является проекцией наклонной $KM$ на плоскость $(ABC)$. По теореме о трех перпендикулярах: так как проекция $AM$ перпендикулярна прямой $BC$, лежащей в плоскости, то и сама наклонная $KM$ перпендикулярна этой прямой $BC$. Что и требовалось доказать: $KM \perp BC$. 2. **Ответ: $13$ см** **Решение:** 1) В прямоугольном $\triangle ABC$ (угол $C=90^{\circ}$) по теореме Пифагора найдем гипотенузу $AB$: $AB^2 = AC^2 + BC^2$, но нам даны $AB=12$ и $BC=2\sqrt{11}$. Найдем катет $AC$: $AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{12^2 - (2\sqrt{11})^2} = \sqrt{144 - 44} = \sqrt{100} = 10$ см. 2) Расстояние от точки $K$ до прямой $BC$ — это длина перпендикуляра $KC$. Так как $AK \perp (ABC)$, то $AK \perp AC$. По теореме о трех перпендикулярах $KC \perp BC$, так как проекция $AC \perp BC$ (угол $C=90^{\circ}$). 3) Из прямоугольного $\triangle KAC$ по теореме Пифагора: $KC = \sqrt{AK^2 + AC^2} = \sqrt{(5\sqrt{5})^2 + 10^2} = \sqrt{125 + 100} = \sqrt{225} = 15$ см. **Допущение:** В тексте вопроса спрашивается расстояние от точки $K$ до прямой $BC$. Выше приведено решение для него. 3. **Ответ: $7$ см** **Решение:** 1) Расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ — это длина наклонной $MK$, где $MK \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах её проекция $AK$ также будет перпендикулярна $CD$. Значит, $AK$ — высота параллелограмма, опущенная на сторону $CD$. 2) В параллелограмме $ABCD$: $CD = AB = 10$ см, $AD = 5\sqrt{2}$ см, $\angle D = 180^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (неудобно). Проще использовать $\angle D = \angle B$ или найти высоту через синус острого угла. Высота $AK$ к прямой $CD$: $AK = AD \cdot \sin(\angle D) = AD \cdot \sin(45^{\circ}) = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5$ см. 3) Из прямоугольного $\triangle MAK$ ($MA \perp AK$): $MK = \sqrt{MA^2 + AK^2} = \sqrt{(2\sqrt{6})^2 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$ см.