Из вершины A прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр AK к его плоскости, расстояние от конца которого до других вершин равны 6 м, 7 м и 9 м. Найдите длину перпендикуляра.

Вот решение твоих задач по геометрии: 1. **Ответ: $2$ м** **Дано:** $ABCD$ — прямоугольник, $AK \perp (ABC)$, $KB = 6$ м, $KD = 7$ м, $KC = 9$ м. **Найти:** $AK$. **Решение:** Пусть $AK = h$, $AB = a$, $AD = b$. Тогда по теореме Пифагора: 1) Из $\triangle KAB$: $h^2 + a^2 = 6^2 = 36$ 2) Из $\triangle KAD$: $h^2 + b^2 = 7^2 = 49$ 3) Из $\triangle KAC$: $h^2 + AC^2 = 9^2 = 81$ В прямоугольнике $ABCD$ диагональ $AC^2 = a^2 + b^2$. Подставим это в третье уравнение: $h^2 + a^2 + b^2 = 81$ Заметим, что из первого уравнения $a^2 = 36 - h^2$, а из второго $b^2 = 49 - h^2$. Подставим их: $h^2 + (36 - h^2) + (49 - h^2) = 81$ $85 - h^2 = 81$ $h^2 = 4 \Rightarrow h = 2$. 2. **Ответ: $6$ дм** **Дано:** $ABCD$ — квадрат, $AE \perp (ABC)$, $AE = 2$ дм, $AB = 8$ дм. **Найти:** расстояние от $E$ до $BD$. **Решение:** Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. Так как диагонали квадрата перпендикулярны ($AC \perp BD$), то по теореме о трех перпендикулярах $EO \perp BD$. Значит, искомое расстояние — это отрезок $EO$. 1) Диагональ квадрата $AC = AB\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$ дм. 2) Половина диагонали $AO = \frac{AC}{2} = 4\sqrt{2}$ дм. 3) Из прямоугольного $\triangle EAO$ (так как $EA \perp AO$): $EO^2 = AE^2 + AO^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 32 = 36$ $EO = \sqrt{36} = 6$ дм. 3. **Ответ: $6$ см** **Дано:** $\triangle ABC$, $D \in AB$, $BD:BA = 1:3$, плоскость $\alpha \parallel AC$, $D \in \alpha$, $\alpha \cap BC = D_1$, $DD_1 = 4$ см. **Найти:** $AC$. **Решение:** 1) Так как плоскость проходит через прямую $DD_1$ и параллельна $AC$, то линия пересечения $DD_1$ параллельна $AC$ по свойству параллельности прямой и плоскости. 2) Рассмотрим $\triangle ABC$ и $\triangle DBD_1$. У них $\angle B$ общий, $\angle BDD_1 = \angle BAC$ (соответственные при $DD_1 \parallel AC$). Значит, $\triangle DBD_1 \sim \triangle ABC$. 3) Из подобия треугольников: $\frac{DD_1}{AC} = \frac{BD}{BA}$. По условию $\frac{BD}{BA} = \frac{1}{3}$. $\frac{4}{AC} = \frac{1}{3} \Rightarrow AC = 4 \cdot 3 = 12$ см. **Допущение:** В условии сказано $BD:BA = 1:3$, что означает, что сторона $BA$ в три раза больше отрезка $BD$.