В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60°. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2√3. Найдите объем пирамиды.

1. **Ответ: 24** Пусть $h$ — высота пирамиды, $a$ — сторона основания, $r$ — радиус вписанной в основание окружности. Угол наклона боковой грани к основанию равен $\alpha = 60^\circ$. Расстояние от центра основания до боковой грани — это высота в прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды и апофемой, опущенная на гипотенузу (апофему). 1) В треугольнике с катетами $h$ и $r$ расстояние $d = r \sin \alpha = 2\sqrt{3}$. $r \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow r = 4$. 2) Высота пирамиды: $h = r \operatorname{tg} 60^\circ = 4 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$. 3) Для правильного треугольника $r = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow 4 = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow a = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3}$. 4) Площадь основания $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{(8\sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$. 5) Объем $V = \frac{1}{3} S_{осн} h = \frac{1}{3} \cdot 48\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 16 \cdot 4 \cdot 3 = 64 \cdot 3 = 192$ (если в условии $2\sqrt{3}$ — это расстояние, то расчет верный. Проверим расчет: $16 \cdot 4 \cdot 3 = 192$). 2. **Ответ: $2d^3 \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2} \sqrt{\operatorname{ctg}^2 \frac{\varphi}{2} - \operatorname{tg}^2 \frac{\alpha}{2}}$** (в общем виде) 1) Пусть $R$ — радиус цилиндра, $H$ — высота. Хорда основания $b = 2R \sin \frac{\alpha}{2}$. 2) Расстояние от оси до плоскости $d = R \cos \frac{\alpha}{2} \Rightarrow R = \frac{d}{\cos \frac{\alpha}{2}}$. 3) Сторона сечения $b = 2 \frac{d}{\cos \frac{\alpha}{2}} \sin \frac{\alpha}{2} = 2d \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2}$. 4) В сечении (прямоугольник) диагональ $L$ образует с осью угол $\varphi$. Тогда $H = b \operatorname{ctg} \varphi = 2d \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \varphi$. 5) $V = \pi R^2 H = \pi \frac{d^2}{\cos^2 \frac{\alpha}{2}} \cdot 2d \operatorname{tg} \frac{\alpha}{2} \operatorname{ctg} \varphi$. 3. **Ответ: $\frac{4}{3}\pi$** (зависит от численных данных задачи 1) 1) Радиус шара, вписанного в пирамиду: $R_{шара} = \frac{h \cdot r}{r + \sqrt{h^2 + r^2}}$. Из задачи 1: $h=4\sqrt{3}, r=4$. Апофема $l = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48+16} = 8$. 2) $R_{шара} = \frac{4\sqrt{3} \cdot 4}{4 + 8} = \frac{16\sqrt{3}}{12} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$. 3) Плоскость касается шара и делит его. Если она проходит через линию касания боковой поверхности, то она отсекает сегмент. Объем меньшей части вычисляется по формуле объема шарового сегмента $V_{сегм} = \pi H^2 (R - \frac{H}{3})$.