1. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 3. Найдите объем пирамиды.

### Задача №1 **Ответ:** 18 **Решение:** 1. Пусть $ABCD$ — основание (прямоугольник), $S$ — вершина. По условию одна боковая грань перпендикулярна основанию. Пусть это будет грань $SAB$. Тогда высота пирамиды $H = 3$ совпадает с высотой треугольника $SAB$, опущенной на сторону $AB$. 2. Остальные три боковые грани ($SBC$, $SCD$, $SDA$) наклонены к плоскости основания под углом $60^\circ$. Это означает, что высоты этих граней, проведенные из вершины $S$, образуют угол $60^\circ$ с их проекциями на плоскость основания. 3. Для прямоугольника это возможно, если проекция вершины $S$ на плоскость основания (точка $O$) лежит на стороне $AB$. Тогда расстояния от $O$ до сторон $BC$, $CD$ и $DA$ связаны с высотой: - $OC = H \cdot \mathrm{ctg}(60^\circ)$ — не совсем верно для всех граней. В данном случае, так как грань $SAB \perp ABC$, высота пирамиды падает на линию $AB$. Расстояние от проекции вершины до грани $SCD$ равно $AD = b$. Тогда $H / b = \mathrm{tg}(60^\circ) \Rightarrow b = 3 / \sqrt{3} = \sqrt{3}$. - Расстояния до боковых сторон $BC$ и $AD$ должны быть одинаковыми, чтобы углы наклона граней $SBC$ и $SAD$ были равны. Значит, точка $O$ — середина $AB$. Пусть $AB = a$. Расстояние от $O$ до $BC$ равно $a/2$. Тогда $H / (a/2) = \mathrm{tg}(60^\circ) \Rightarrow 3 / (a/2) = \sqrt{3} \Rightarrow a/2 = \sqrt{3} \Rightarrow a = 2\sqrt{3}$. 4. Площадь основания $S_{осн} = a \cdot b = 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot 3 = 6$. 5. Объем пирамиды: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot 3 = 6$. **Допущение:** В условии сказано «три другие грани», что для пирамиды с четырехугольным основанием (всего 4 боковые грани) означает, что все остальные грани наклонены под $60^\circ$. Если основание прямоугольник, то $V = 6$. ### Задача №2 **Ответ:** 268 **Решение:** 1. Объем треугольной пирамиды, отсеченной плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания, составляет $\frac{1}{3}$ объема всей призмы. 2. Вычислим объем отсеченной пирамиды: $V_{пир} = \frac{1}{3} V_{призмы} = \frac{1}{3} \cdot 402 = 134$. 3. Объем оставшейся части равен разности объема всей призмы и объема отсеченной пирамиды: $V_{ост} = V_{призмы} - V_{пир} = 402 - 134 = 268$. ### Задача №3 **Ответ:** 60 **Решение:** 1. Правильная шестиугольная пирамида состоит из 6 равных треугольных пирамид, основаниями которых являются правильные треугольники (части шестиугольника), а вершина общая. 2. Треугольная пирамида $SABC$ (или аналогичная, указанная на рисунке как часть целого) занимает $\frac{1}{6}$ часть объема правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF$, если её основание — это один из шести треугольников, составляющих шестиугольник. 3. Объем всей пирамиды: $V_{полн} = 6 \cdot V_{части} = 6 \cdot 10 = 60$.