3. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 24, с основанием цилиндра она образует угол в 60°. Вычислить объём цилиндра. 4. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 144. Найдите площадь полной поверхности цилиндра. 5. Конус вписан в треугольную пирамиду. Все боковые рёбра равны и перпендикулярны между собой. Длина каждого бокового ребра равна 24. Определи площадь боковой поверхности конуса. 6. Прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, вращается вокруг прямой, содержащей гипотенузу. Найдите площадь поверхности и объём тела вращения.

3. Диагональ $d=24$, угол с основанием $\alpha=60^{\circ}$. Высота цилиндра: $h = d \cdot \sin 60^{\circ} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}$. Диаметр основания: $D = d \cdot \cos 60^{\circ} = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12 \Rightarrow$ радиус $r = 6$. Объём: $V = \pi r^2 h = \pi \cdot 6^2 \cdot 12\sqrt{3} = 432\sqrt{3}\pi$. **Ответ: 432\sqrt{3}\pi**. 4. Площадь шара $S_{ш} = 4\pi R^2 = 144 \Rightarrow \pi R^2 = 36$. Для цилиндра, в который вписан шар: $r_{ц} = R$, $h_{ц} = 2R$. Площадь полной поверхности: $S_{ц} = 2\pi R^2 + 2\pi R(2R) = 6\pi R^2 = 6 \cdot 36 = 216$. **Ответ: 216**. 5. У конуса, вписанного в пирамиду с равными ребрами $a=24$, образующая $l = a = 24$. Т.к. ребра перпендикулярны, в основании пирамиды прямоугольный треугольник, а высота конуса падает в центр гипотенузы. Радиус основания конуса $r$ равен высоте из прямого угла к гипотенузе $c = a\sqrt{2}$. $r = \frac{a^2}{c} = \frac{a^2}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}} = 12\sqrt{2}$. Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = \pi rl = \pi \cdot 12\sqrt{2} \cdot 24 = 288\sqrt{2}\pi$. **Ответ: 288\sqrt{2}\pi**. 6. Катеты $a=6, b=8$, гипотенуза $c = \sqrt{6^2+8^2} = 10$. Высота к гипотенузе $r = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{48}{10} = 4,8$. Тело вращения — два конуса с общим основанием радиуса $r$. Сумма их высот $h_1 + h_2 = c = 10$. Объём: $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h_1 + \frac{1}{3}\pi r^2 h_2 = \frac{1}{3}\pi r^2 c = \frac{1}{3}\pi \cdot 4,8^2 \cdot 10 = 76,8\pi$. Площадь поверхности: $S = \pi r a + \pi r b = \pi r (a+b) = \pi \cdot 4,8 \cdot (6+8) = 67,2\pi$. **Ответ: S = 67,2\pi; V = 76,8\pi**.