Высота цилиндра равна 6 см, а диагональ его осевого сечения образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности правильной четырёхугольной призмы, вписанной в цилиндр.

Для решения задачи 8.7 нам нужно найти площадь боковой поверхности призмы, используя данные о цилиндре. **Ответ: $72\sqrt{3}$** **Решение:** 1. Рассмотрим осевое сечение цилиндра. Это прямоугольник, где одна сторона — высота $h = 6$, а другая — диаметр основания $d$. По условию, диагональ осевого сечения образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Из прямоугольного треугольника (диагональ, диаметр, высота): $$\text{tg}(60^\circ) = \frac{h}{d} \Rightarrow \sqrt{3} = \frac{6}{d} \Rightarrow d = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ Радиус основания цилиндра: $R = \frac{d}{2} = \sqrt{3}$. 2. Правильная четырёхугольная призма вписана в цилиндр. Это значит, что в её основании лежит квадрат, вписанный в окружность радиуса $R$. Диагональ квадрата равна диаметру цилиндра $d = 2\sqrt{3}$. Пусть сторона квадрата (основания призмы) равна $x$. Тогда по теореме Пифагора: $$x^2 + x^2 = d^2 \Rightarrow 2x^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow 2x^2 = 12 \Rightarrow x^2 = 6 \Rightarrow x = \sqrt{6}$$ 3. Площадь боковой поверхности правильной призмы вычисляется по формуле $S_{\text{бок}} = P_{\text{осн}} \cdot h$, где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, $h$ — высота призмы (равна высоте цилиндра). $$P_{\text{осн}} = 4x = 4\sqrt{6}$$ $$S_{\text{бок}} = 4\sqrt{6} \cdot 6 = 24\sqrt{6}$$ **Допущение:** В тексте задания 8.7 указано найти площадь боковой поверхности призмы. Если имелась в виду правильная треугольная призма из предыдущей строки (опечатка в условии), решение будет иным. Но согласно тексту пункта 8.7 для четырёхугольной призмы: $$S_{\text{бок}} = 24\sqrt{6} \approx 58,79$$