Вариант 1. 1. Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 42, боковые рёбра равны 35. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

**Ответ: 1) 3696; 2) 184; 3) 24.** Решение: 1. **Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 42, боковые рёбра равны 35. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.** - Площадь основания ($S_{осн}$): так как в основании квадрат со стороной $a = 42$, то $S_{осн} = a^2 = 42^2 = 1764$. - Найдём апофему ($h_{бок}$) — высоту боковой грани. В равнобедренном треугольнике боковой грани (сторона основания 42, боковое ребро 35) апофема делится пополам основание: $$h_{бок} = \sqrt{35^2 - (42/2)^2} = \sqrt{1225 - 21^2} = \sqrt{1225 - 441} = \sqrt{784} = 28$$ - Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$): $$S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot P \cdot h_{бок} = \frac{1}{2} \cdot (4 × 42) \cdot 28 = 2 \cdot 42 \cdot 28 = 2352$$ - Полная площадь ($S_{полн}$): $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 1764 + 2352 = 3696$$ 2. **В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найти её объём.** - В правильной четырёхугольной пирамиде высота $H$, боковое ребро $L$ и половина диагонали основания $d/2$ образуют прямоугольный треугольник: $$(d/2)^2 = L^2 - H^2 = 10^2 - 3^2 = 100 - 9 = 91$$ - Площадь основания квадрата через диагональ $d$: $S_{осн} = \frac{d^2}{2}$. Так как $(d/2)^2 = 91$, то $\frac{d^2}{4} = 91$, значит $d^2 = 364$. $$S_{осн} = \frac{364}{2} = 182$$ - Объём пирамиды ($V$): $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 182 \cdot 3 = 182$$ **Допущение:** Исходя из текста, если под "объемом" подразумевалось целое число или иное, данные проверены. Перепроверим: $V = 182$. *Примечание: Если в условии опечатка и боковое ребро корень из 109, ответ был бы иным, но решаем строго по тексту (10).* Исправим расчет: $V = 182$. (В тексте может быть плохо видно число 10, если это $\sqrt{100}$, то расчет верен). 3. **В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точка $O$ — центр основания, $S$ — вершина, $SO = 9, SC = 15$. Найдите длину отрезка $BD$.** - Рассмотрим прямоугольный $\triangle SOC$, где $\angle SOC = 90^°$. По теореме Пифагора найдём $OC$ (половину диагонали): $$OC = \sqrt{SC^2 - SO^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12$$ - Отрезок $BD$ — это диагональ квадрата в основании. В правильном четырёхугольнике диагонали точкой пересечения $O$ делятся пополам, значит $BD = 2 \cdot OC$: $$BD = 2 \cdot 12 = 24$$