1. Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC$, у которого $AB=BC$ и $\angle ABC=102^\circ$. Найдите величину угла $AOB$.
Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$, то углы при основании равны:
$$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 102^\circ}{2} = \frac{78^\circ}{2} = 39^\circ$$
Угол $AOB$ является центральным углом, который опирается на дугу $AB$. Вписанный угол $BCA$ опирается на ту же дугу $AB$. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
$$\angle AOB = 2 \cdot \angle BCA = 2 \cdot 39^\circ = 78^\circ$$
**Ответ: $78^\circ$**
2. Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Найдите угол $ABC$, если угол $BAC$ равен $33^\circ$.
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром. Значит, $AB$ — это диаметр окружности. Треугольник, вписанный в окружность, у которого одна сторона является диаметром, является прямоугольным треугольником. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$.
Следовательно, угол $\angle ACB = 90^\circ$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит:
$$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB$$
$$\angle ABC = 180^\circ - 33^\circ - 90^\circ = 180^\circ - 123^\circ = 57^\circ$$
**Ответ: $57^\circ$**
3. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $119^\circ$, угол $CAD$ равен $57^\circ$. Найдите угол $ABD$.
В вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна $180^\circ$.
$$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$$
$$\angle ADC = 180^\circ - 119^\circ = 61^\circ$$
Рассмотрим треугольник $ADC$. У нас есть $\angle ADC = 61^\circ$ и $\angle CAD = 57^\circ$. Найдем $\angle ACD$:
$$\angle ACD = 180^\circ - \angle ADC - \angle CAD = 180^\circ - 61^\circ - 57^\circ = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$
Углы $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.
Значит, $\angle ABD = \angle ACD = 62^\circ$.
**Ответ: $62^\circ$**
4. Найдите длину хорды окружности, если расстояние от центра окружности до этой хорды равно 3, а диаметр окружности равен 10.
Радиус окружности $R = \frac{\text{диаметр}}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Пусть хорда — это $AB$, а $O$ — центр окружности. Расстояние от центра до хорды — это перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$, где $M$ — середина хорды. В этом случае $OM = 3$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMA$. Гипотенуза $OA$ — это радиус окружности, $OA = R = 5$. Катет $OM = 3$.
По теореме Пифагора:
$$AM^2 + OM^2 = OA^2$$
$$AM^2 + 3^2 = 5^2$$
$$AM^2 + 9 = 25$$
$$AM^2 = 25 - 9$$
$$AM^2 = 16$$
$$AM = \sqrt{16} = 4$$
Длина хорды $AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 4 = 8$.
**Ответ: 8**
5. Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Для равностороннего треугольника со стороной $a$, радиус описанной окружности $R$ вычисляется по формуле:
$$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$
Подставим данное значение $a = 18\sqrt{3}$:
$$R = \frac{18\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 18$$
**Ответ: 18**
6. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $16\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот же квадрат.
Пусть $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $a$ — сторона квадрата.
Для квадрата, описанная окружность проходит через его вершины. Диагональ квадрата является диаметром описанной окружности. Длина диагонали $d = a\sqrt{2}$.
Значит, $2R = a\sqrt{2}$, откуда $a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$.
Нам дан $R = 16\sqrt{2}$. Найдем сторону квадрата $a$:
$$a = (16\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 16 \cdot 2 = 32$$
Вписанная окружность касается сторон квадрата. Её диаметр равен стороне квадрата. Значит, $2r = a$.
$$r = \frac{a}{2}$$
Подставим найденное значение $a=32$:
$$r = \frac{32}{2} = 16$$
**Ответ: 16**
