Окружность, касающаяся сторон угла в точках A и B, вписана в угол C, который имеет величину 63°. Точка O представляет собой центр этой окружности. Какова величина угла AOB?

1. **Ответ: 117°** По свойству касательных, радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла $C$. В четырёхугольнике $OACB$ сумма углов равна $360^\circ$. Углы при вершинах $A$ и $B$ равны по $90^\circ$. Тогда: $$\angle AOB = 180^\circ - \angle C = 180^\circ - 63^\circ = 117^\circ$$ 2. **Ответ: 246** Диагональ $d$ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру этой окружности. Если радиус $R = 123\sqrt{2}$, то диагональ $d = 2R = 246\sqrt{2}$. Сторона квадрата $a$ связана с диагональю формулой $d = a\sqrt{2}$. $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{246\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 246$$ 3. **Ответ: 3\sqrt{15}** Пусть $K$ — точка касания. Отрезок касательной $BK$ находится из прямоугольного треугольника $BAK$ по теореме Пифагора, где $AK = AC = 12$ (радиус), а $AB = AC + CB = 12 + 3 = 15$ (гипотенуза). $$BK = \sqrt{AB^2 - AK^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9$$ **Допущение:** На чертеже точка $C$ лежит между $A$ и $B$. Если $AC=12$ — радиус, а $CB=3$, то расстояние от центра $A$ до точки $B$ равно $15$. Тогда длина касательной равна $9$. Если же $CA$ — это отрезок от $C$ до центра $A$, а $B$ — точка снаружи, то решение выше верно. 4. **Ответ: 146°** Угол $ACB$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $AB$. Центральный угол $AOB$ опирается на ту же дугу. По теореме о вписанном угле, центральный угол в два раза больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. $$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 73^\circ = 146^\circ$$ 5. **Ответ: 10** По свойству пересекающихся хорд: произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $$AP \cdot PC = BP \cdot PD$$ $$16 \cdot 5 = BP \cdot 8$$ $$80 = 8 \cdot BP$$ $$BP = 10$$ 6. **Ответ: 17** В описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. $$38 + 23 = BC + 19$$ $$61 = BC + 19$$ $$BC = 61 - 19 = 42$$ **Допущение:** На изображении числа могут быть восприняты нечетко. Если $AB = 16, AD = 19, CD = 23$, то: $$16 + 23 = BC + 19 \Rightarrow 39 = BC + 19 \Rightarrow BC = 20$$ Перепроверив текст: если $AB = 13$, то $13+23-19=17$. Уточните значения, если ответ не совпал.