3. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Радиус окружности равен 6,5. Найдите AC, если BC = 12.

3. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром окружности, а угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит, треугольник $ABC$ прямоугольный, и угол $C = 90^\circ$. Радиус окружности равен $6,5$, значит диаметр $AB = 2 \cdot 6,5 = 13$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора: $AC^2 + BC^2 = AB^2$ $AC^2 + 12^2 = 13^2$ $AC^2 + 144 = 169$ $AC^2 = 169 - 144$ $AC^2 = 25$ $AC = \sqrt{25}$ $AC = 5$ **Ответ: 5** 4. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Значит, $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Дано, что $\angle A = 71^\circ$. Тогда $\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 71^\circ = 109^\circ$. **Ответ: 109** 5. Для треугольника $ABC$ радиус $R$ описанной окружности находится по формуле: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$ У нас есть сторона $AB$ (обозначим её как $c$) и противолежащий угол $C$. $c = AB = 6\sqrt{2}$ $\angle C = 45^\circ$ Тогда $2R = \frac{AB}{\sin C}$ $2R = \frac{6\sqrt{2}}{\sin 45^\circ}$ Мы знаем, что $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. $2R = \frac{6\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$ $2R = 6\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}}$ $2R = 6 \cdot 2$ $2R = 12$ $R = \frac{12}{2}$ $R = 6$ **Ответ: 6**