Найти длину стороны квадрата, если радиус окружности, описанной около квадрата, равен $26\sqrt{2}$

1. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $26\sqrt{2}$. Диагональ квадрата $d$ равна $2R$, где $R$ — радиус описанной окружности. Сторона квадрата $a$ связана с диагональю формулой $d = a\sqrt{2}$. $$d = 2 \cdot 26\sqrt{2} = 52\sqrt{2}$$ $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{52\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 52$$ **Ответ: 52** 2. Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Радиус описанной окружности $R$ для равностороннего треугольника со стороной $a$ находится по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$. $$R = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 10$$ **Ответ: 10** 3. Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $3\sqrt{3}$. Длина стороны $a$ равностороннего треугольника, описанного около окружности радиусом $R$, находится по формуле: $a = R\sqrt{3}$. $$a = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \cdot 3 = 9$$ **Ответ: 9** 4. Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Радиус окружности равен 10. $AC = 16$. Нужно найти $BC$. Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника, то эта сторона является диаметром, а угол, опирающийся на этот диаметр, прямой. Значит, $AB$ — это диаметр, и угол $C$ прямой ($90^\circ$). Диаметр $AB = 2R = 2 \cdot 10 = 20$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $ABC$: $AC^2 + BC^2 = AB^2$. $$16^2 + BC^2 = 20^2$$ $$256 + BC^2 = 400$$ $$BC^2 = 400 - 256$$ $$BC^2 = 144$$ $$BC = \sqrt{144} = 12$$ **Ответ: 12** 5. В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 10$, $BC = 24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Треугольник $ABC$ прямоугольный. Радиус описанной окружности $R$ около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенузу $AB$ найдем по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 10^2 + 24^2$$ $$AB^2 = 100 + 576$$ $$AB^2 = 676$$ $$AB = \sqrt{676} = 26$$ Радиус описанной окружности: $R = \frac{AB}{2} = \frac{26}{2} = 13$. **Ответ: 13** 6. Центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$. Угол $BAC$ равен $17^\circ$. Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, значит, $AB$ — это диаметр окружности, а треугольник $ABC$ — прямоугольный, с прямым углом $C$ ($90^\circ$). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Угол $ABC = 180^\circ - \text{угол } BAC - \text{угол } ACB$ Угол $ABC = 180^\circ - 17^\circ - 90^\circ$ Угол $ABC = 73^\circ$ **Ответ: 73**