Треугольник ABC вписан в окружность с центром в точке O. Точки O и C лежат в одной полуплоскости относительно прямой AB. Найдите угол ACB, если угол AOB равен 173°. Ответ дайте в градусах.

1. Угол $\angle ACB$ — это вписанный угол, который опирается на ту же дугу $AB$, что и центральный угол $\angle AOB$. Угол $\angle AOB$ равен $173^\circ$. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. $$\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB$$ $$\angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 173^\circ$$ $$\angle ACB = 86.5^\circ$$ **Ответ:** $86.5$ 2. Диаметры $AC$ и $BD$ пересекаются в центре окружности $O$. Это значит, что $\triangle AOB$ — равнобедренный, так как $OA = OB = R$ (радиусы окружности). Аналогично, $\triangle COD$ — равнобедренный, $OC = OD = R$. $\\angle ACB = 78^\circ$ — это вписанный угол, опирающийся на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, — $\angle AOB$. $$\angle AOB = 2 \angle ACB$$ $$\angle AOB = 2 \cdot 78^\circ = 156^\circ$$ Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ являются вертикальными, поэтому они равны. $$\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$$ $$\angle AOD = 180^\circ - 156^\circ$$ $$\angle AOD = 24^\circ$$ **Ответ:** $24$ 3. Точка $O$ — центр окружности. Точки $A, B, C$ лежат на окружности. Рассмотрим $\triangle AOB$: $OA = OB = R$, значит, $\triangle AOB$ — равнобедренный. $$\angle OAB = \angle OBA = 27^\circ$$ Рассмотрим $\triangle BOC$: $OB = OC = R$, значит, $\triangle BOC$ — равнобедренный. Известно, что $\angle ABC = 46^\circ$. $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle OBA$ и $\angle OBC$. $$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC$$ $$46^\circ = 27^\circ + \angle OBC$$ $$\angle OBC = 46^\circ - 27^\circ = 19^\circ$$ Так как $\triangle BOC$ равнобедренный с $OB=OC$, то $\angle OCB = \angle OBC$. $$\angle OCB = 19^\circ$$ **Ответ:** $19$ 4. Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $\angle ABC = 38^\circ$. Угол $\angle CAD = 33^\circ$. Угол $\angle ABD$ и $\angle ACD$ опираются на одну и ту же дугу $AD$, значит, они равны. $$\angle ABD = \angle ACD$$ Угол $\angle CAD$ и $\angle CBD$ опираются на одну и ту же дугу $CD$, значит, они равны. $$\angle CBD = \angle CAD = 33^\circ$$ Угол $\angle ABC$ состоит из двух углов: $\angle ABD$ и $\angle CBD$. $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$$ $$38^\circ = \angle ABD + 33^\circ$$ $$\angle ABD = 38^\circ - 33^\circ$$ $$\angle ABD = 5^\circ$$ **Ответ:** $5$ 5. Центр описанной окружности около треугольника $ABC$ лежит на стороне $AB$. Это значит, что сторона $AB$ является диаметром окружности. Радиус окружности $R = 20.5$. Диаметр $AB = 2R = 2 \cdot 20.5 = 41$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Значит, $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, $\triangle ABC$ — прямоугольный треугольник. Известна сторона $AC = 9$. По теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$9^2 + BC^2 = 41^2$$ $$81 + BC^2 = 1681$$ $$BC^2 = 1681 - 81$$ $$BC^2 = 1600$$ $$BC = \sqrt{1600}$$ $$BC = 40$$ **Ответ:** $40$ 6. Окружность вписана в угол $C$ величиной $115^\circ$. Точки касания $A$ и $B$. $O$ — центр окружности. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$. Рассмотрим четырёхугольник $OACB$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. $$\angle AOC + \angle OAC + \angle ACB + \angle CBO = 360^\circ$$ $$\angle AOB + 90^\circ + 115^\circ + 90^\circ = 360^\circ$$ $$\angle AOB + 295^\circ = 360^\circ$$ $$\angle AOB = 360^\circ - 295^\circ$$ $$\angle AOB = 65^\circ$$ **Ответ:** $65$ 7. Хорды $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$. Известны длины отрезков хорд: $BP=4$, $CP=12$, $DP=21$. Свойство пересекающихся хорд гласит, что произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $$AP \cdot CP = BP \cdot DP$$ $$AP \cdot 12 = 4 \cdot 21$$ $$AP \cdot 12 = 84$$ $$AP = \frac{84}{12}$$ $$AP = 7$$ **Ответ:** $7$