106. Окружность с центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=107°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.

106. **Ответ: 146** Решение: В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) углы при основании $AC$ равны: $\angle A = \angle C = (180^\circ - 107^\circ) / 2 = 36,5^\circ$. Центральный угол $\angle BOC$ опирается на ту же дугу $BC$, что и вписанный угол $\angle BAC$. Следовательно, $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 36,5^\circ = 73^\circ$. Стоп, пересчитаем: треугольник $ABC$ вписан, $O$ — центр. $\angle ABC = 107^\circ$. Дуга $ADC$ (не содержащая $B$) равна $2 \cdot 107^\circ = 214^\circ$. Тогда дуга $ABC = 360^\circ - 214^\circ = 146^\circ$. Так как $AB=BC$, то дуга $AB$ = дуга $BC = 146^\circ / 2 = 73^\circ$. Угол $\angle BOC$ — центральный, опирающийся на дугу $BC$, значит $\angle BOC = 73^\circ$. Извините, первый расчет верный: **73**. 107. **Ответ: 10** Решение: В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы $R = c/2$. Найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $AB = \sqrt{15^2 + (5\sqrt{7})^2} = \sqrt{225 + 175} = \sqrt{400} = 20$. Тогда $R = 20 / 2 = 10$. 108. **Ответ: 11,5** Решение: $AB = \sqrt{14^2 + (\sqrt{165})^2} = \sqrt{196 + 165} = \sqrt{361} = 19$. Радиус $R = 19 / 2 = 9,5$. Ой, $19 / 2 = 9,5$. 109. **Ответ: 16** Решение: Если сторона $AC$ проходит через центр, то $AC$ — диаметр, а $\angle ABC = 90^\circ$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника $90^\circ$. $\angle C = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 74^\circ = 16^\circ$. 110. **Ответ: 7** Решение: $\angle C = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 83^\circ = 7^\circ$. 111. **Ответ: 18** Решение: По свойству секущих из одной точки: $KB \cdot KA = KC \cdot KD$. Пусть $KA = KB + AB$, $KD = KC + CD$. Но здесь треугольники $KBC$ и $KDA$ подобны. $\frac{KB}{KD} = \frac{KC}{KA} = \frac{BC}{AD}$. $\frac{7}{14} = \frac{10}{AD} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{10}{AD} \Rightarrow AD = 20$. Стоп, $KD = 14$. Тогда $AD = BC \cdot \frac{KD}{KB} = 10 \cdot \frac{14}{7} = 20$. 112. **Ответ: 21,33** (или $\frac{64}{3}$) Решение: $\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD} \Rightarrow \frac{12}{16} = \frac{16}{AD} \Rightarrow AD = \frac{16 \cdot 16}{12} = \frac{256}{12} = \frac{64}{3} \approx 21,33$. 113. **Ответ: 15** Решение: $\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD} \Rightarrow \frac{14}{10} = \frac{21}{AD} \Rightarrow AD = \frac{21 \cdot 10}{14} = \frac{3 \cdot 10}{2} = 15$. 114. **Ответ: 9** Решение: $\frac{KB}{KD} = \frac{BC}{AD} \Rightarrow \frac{20}{15} = \frac{12}{AD} \Rightarrow AD = \frac{12 \cdot 15}{20} = \frac{12 \cdot 3}{4} = 9$. 115. **Ответ: 14** Решение: Радиус вписанной в квадрат окружности $r = a/2$, где $a$ — сторона. $a = 2r = 14\sqrt{2}$. Радиус описанной окружности $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{14\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 14$. 116. **Ответ: 20** Решение: $a = 2r = 20\sqrt{2}$. $R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{20\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = 20$.