1. Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и \angle ABC = 32^\circ. Найдите величину угла BOC.

1. Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC$, в котором $AB = BC$ и $\angle ABC = 32^\circ$. Найдите величину угла $BOC$. Ответ дайте в градусах. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB=BC$, углы при основании равны: $$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^\circ - \angle ABC}{2} = \frac{180^\circ - 32^\circ}{2} = \frac{148^\circ}{2} = 74^\circ$$ Центральный угол $BOC$ опирается на ту же дугу, что и вписанный угол $BAC$. Значит, центральный угол в два раза больше вписанного угла, если они опираются на одну и ту же дугу: $$\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC$$ $$\angle BOC = 2 \cdot 74^\circ = 148^\circ$$ **Ответ: 148** 2. $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. Угол $ACB$ равен $25^\circ$. Найдите угол $AOD$. Ответ дайте в градусах. Угол $ACB$ — это вписанный угол, который опирается на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $AB$, — это угол $AOB$. Значит, центральный угол $AOB$ в два раза больше вписанного угла $ACB$: $$\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 25^\circ = 50^\circ$$ Углы $AOB$ и $AOD$ — смежные углы, если рассматривать прямую $BD$. Хотя нет, углы $AOB$ и $COD$ — вертикальные, а углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные. Углы $AOB$ и $AOD$ являются смежными только если $OB$ и $OD$ - это прямая, что и есть, потому что $BD$ - диаметр. Проще так: $\angle AOD$ и $\angle BOC$ — вертикальные углы, они равны. $\angle AOB$ и $\angle BOC$ — смежные углы, их сумма $180^\circ$. Тогда $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. А так как $\angle AOD = \angle BOC$ (вертикальные углы), $$\angle AOD = 130^\circ$$ **Ответ: 130** 3. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $6\sqrt{2}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат. Обозначим радиус описанной окружности как $R$, а радиус вписанной окружности как $r$. Известно, что для квадрата радиус описанной окружности $R$ связан со стороной квадрата $a$ формулой: $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Нам дан $R = 6\sqrt{2}$. Подставим это значение: $$6\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Разделим обе части на $\sqrt{2}$: $$6 = \frac{a}{2}$$ $$a = 12$$ Сторона квадрата равна $12$. Радиус вписанной окружности $r$ в квадрат связан со стороной квадрата $a$ формулой: $$r = \frac{a}{2}$$ Подставим найденное значение стороны $a=12$: $$r = \frac{12}{2} = 6$$ **Ответ: 6** 4. К окружности с центром в точке $O$ проведены касательная $AB$ и секущая $AO$. Найдите радиус окружности, если $AB = 63$, $AO = 65$. Пусть $B$ — точка касания касательной $AB$ с окружностью. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, $OB \perp AB$. Треугольник $ABO$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $B$. По теореме Пифагора: $$OB^2 + AB^2 = AO^2$$ Пусть $r$ — радиус окружности, тогда $OB = r$. $$r^2 + AB^2 = AO^2$$ Нам даны $AB = 63$ и $AO = 65$. Подставим эти значения: $$r^2 + 63^2 = 65^2$$ $$r^2 + 3969 = 4225$$ $$r^2 = 4225 - 3969$$ $$r^2 = 256$$ $$r = \sqrt{256}$$ $$r = 16$$ **Ответ: 16**