5. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что ABCD – прямоугольник, ребро AA1 перпендикулярно плоскости ABC, AA1 = √12, AD = 2, AB = 4. Найдите косинус угла между прямыми DF и BC, где F – середина A1B1.

1. Чтобы найти косинус угла между прямыми $DF$ и $BC$, нужно сначала определить координаты точек в пространстве. Возьмем точку $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AD = 2$, $AB = 4$, то: $A = (0,0,0)$ $B = (4,0,0)$ $D = (0,2,0)$ Ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости $ABC$, $AA_1 = \sqrt{12}$. Значит, $A_1 = (0,0,\sqrt{12})$. Для точки $B_1$: $B_1 = (4,0,\sqrt{12})$. $F$ — середина $A_1B_1$. Координаты $F$ будут средним арифметическим координат $A_1$ и $B_1$: $F_x = \frac{0+4}{2} = 2$ $F_y = \frac{0+0}{2} = 0$ $F_z = \frac{\sqrt{12}+\sqrt{12}}{2} = \sqrt{12}$ То есть $F = (2,0,\sqrt{12})$. Теперь найдем векторы $\vec{DF}$ и $\vec{BC}$. $\vec{DF} = F - D = (2-0, 0-2, \sqrt{12}-0) = (2, -2, \sqrt{12})$ $\vec{BC} = C - B$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $C = (4,2,0)$. $\vec{BC} = (4-4, 2-0, 0-0) = (0, 2, 0)$ Косинус угла между векторами можно найти по формуле: $$ \cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|} $$ $\vec{DF} \cdot \vec{BC} = (2)(0) + (-2)(2) + (\sqrt{12})(0) = 0 - 4 + 0 = -4$ $|\vec{DF}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + (\sqrt{12})^2} = \sqrt{4 + 4 + 12} = \sqrt{20}$ $|\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4} = 2$ $$ \cos\theta = \frac{-4}{\sqrt{20} \cdot 2} = \frac{-4}{2\sqrt{20}} = \frac{-2}{\sqrt{20}} = \frac{-2}{\sqrt{4 \cdot 5}} = \frac{-2}{2\sqrt{5}} = \frac{-1}{\sqrt{5}} $$ Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $$ \cos\theta = \frac{-1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{-\sqrt{5}}{5} $$ **Ответ:** $\mathbf{-\frac{\sqrt{5}}{5}}$ 2. Данная задача — это задача на подобие треугольников. Прямые $PA_1B_1$ и $PAB$ образуют два подобных треугольника $PA_1B_1$ и $PAB$, так как плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а линии $AA_1$ и $BB_1$ являются пересечениями этих плоскостей с двумя прямыми, проходящими через $P$. Следовательно, $A_1B_1$ параллельна $AB$. Из подобия треугольников $PA_1B_1$ и $PAB$ следует отношение сторон: $$ \frac{PA_1}{PA} = \frac{PB_1}{PB} = \frac{A_1B_1}{AB} $$ Нам дано: $PA_1 = 2$ $AA_1 = 4$ $A_1B_1 = 1.5$ Найдем $PA$. Точка $A_1$ лежит на отрезке $PA$. $PA = PA_1 + AA_1 = 2 + 4 = 6$ Теперь можем использовать отношение подобия: $$ \frac{PA_1}{PA} = \frac{A_1B_1}{AB} $$ $$ \frac{2}{6} = \frac{1.5}{AB} $$ $$ \frac{1}{3} = \frac{1.5}{AB} $$ Отсюда находим $AB$: $AB = 3 \cdot 1.5 = 4.5$ **Ответ: 4.5**