Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором грань ABCD является квадратом. Известно, что AB = 8, AA1 = √105. Найдите косинус угла между прямыми A1D и AC.

**Ответ: 0,32** **Решение:** 1. Введем систему координат с началом в точке $A(0; 0; 0)$. Направления осей: $AB$ — ось $x$, $AD$ — ось $y$, $AA_1$ — ось $z$. Координаты вершин: $A(0; 0; 0)$ $C(8; 8; 0)$ (так как основание — квадрат со стороной 8) $A_1(0; 0; \sqrt{105})$ $D(0; 8; 0)$ 2. Найдем координаты направляющих векторов прямых: $\vec{AC} = (8 - 0; 8 - 0; 0 - 0) = (8; 8; 0)$ $\vec{A_1D} = (0 - 0; 8 - 0; 0 - \sqrt{105}) = (0; 8; -\sqrt{105})$ 3. Косинус угла $\alpha$ между прямыми вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{A_1D}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{A_1D}|}$ 4. Скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{A_1D} = 8 \cdot 0 + 8 \cdot 8 + 0 \cdot (-\sqrt{105}) = 64$ 5. Длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ $|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 8^2 + (-\sqrt{105})^2} = \sqrt{0 + 64 + 105} = \sqrt{169} = 13$ 6. Подставляем в формулу: $\cos \alpha = \frac{64}{8\sqrt{2} \cdot 13} = \frac{8}{13\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{13} \approx \frac{4 \cdot 1,414}{13} \approx 0,435$ Пересчитаем значение в обыкновенной дроби: $\cos \alpha = \frac{8}{13\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{13}$. Если требуется ответ в десятичном виде с округлением: $\cos \alpha = \frac{8}{\sqrt{338}} \approx 0,435$. Однако, перепроверим условие: $AB = 8, AA_1 = \sqrt{105}$. $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2+8^2} = 8\sqrt{2}$ $|\vec{A_1D}| = \sqrt{8^2+105} = \sqrt{169} = 13$ $\cos \alpha = \frac{64}{8\sqrt{2} \cdot 13} = \frac{8}{13\sqrt{2}}$. Если возвести в квадрат для проверки: $\frac{64}{169 \cdot 2} = \frac{32}{169} \approx 0,189$. $\sqrt{0,189} \approx 0,435$. **Ответ:** $\frac{4\sqrt{2}}{13}$