В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ $AB=2, AD=AA_1=1$. Найди котангенс угла между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$.

**Ответ: 1** **Решение:** 1. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0, 0, 0)$. Тогда координаты вершин: $A(0, 0, 0)$ $B(2, 0, 0)$ $D(0, 1, 0)$ $A_1(0, 0, 1)$ $B_1(2, 0, 1)$ $C_1(2, 1, 1)$ 2. Направим вектор $\vec{AB_1} = \{2; 0; 1\}$. 3. Найдем уравнение плоскости $ABC_1$ (проходит через точки $A(0,0,0)$, $B(2,0,0)$, $C_1(2,1,1)$): Так как плоскость проходит через ось $x$ (точки $A$ и $B$), ее уравнение имеет вид $ay + bz = 0$. Подставим координаты $C_1$: $1a + 1b = 0 \Rightarrow a = -b$. Пусть $b = 1$, тогда $a = -1$. Уравнение плоскости: $-y + z = 0$ или $y - z = 0$. Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = \{0; 1; -1\}$. 4. Пусть $\alpha$ — угол между прямой $AB_1$ и плоскостью $ABC_1$. Синус этого угла равен: $\sin \alpha = \frac{|\vec{AB_1} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{|2\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot(-1)|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. 5. Найдем косинус угла $\alpha$: $\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{1}{10}} = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$. 6. Найдем котангенс угла $\alpha$: $\text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{3/\sqrt{10}}{1/\sqrt{10}} = 3$. **Допущение:** В процессе вычислений найдено значение котангенса, равное 3. Перепроверим геометрически: проекция точки $B_1$ на плоскость $ABC_1$ лежит на прямой $BC_1$. Расстояние от $B_1$ до плоскости $h = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Длина наклонной $AB_1 = \sqrt{5}$. Тогда $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}$, что подтверждает результат. **Ответ:** 3