10. $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, $AB = \sqrt{11}$, $AD = 3$, $AA_1 = 4$. Найдите $\cos \angle(B_1D, (DCC_1))$.

Для решения задачи воспользуемся определением угла между прямой и плоскостью. Угол между прямой $B_1D$ и плоскостью $(DCC_1)$ — это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость. 1. Найдём проекцию прямой $B_1D$ на плоскость $(DCC_1)$. Точка $D$ уже лежит в плоскости $(DCC_1)$. Опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость $(DCC_1)$. В прямоугольном параллелепипеде ребро $B_1C_1$ перпендикулярно грани $(DCC_1)$. Значит, точка $C_1$ — проекция точки $B_1$. Следовательно, отрезок $C_1D$ — проекция прямой $B_1D$, а искомый угол — это $\angle B_1DC_1$. 2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle B_1C_1D$ (угол $\angle B_1C_1D = 90^\circ$, так как $B_1C_1 \perp C_1D$): Нам нужно найти косинус угла $\angle B_1DC_1$. По определению: $\cos \angle B_1DC_1 = \frac{C_1D}{B_1D}$ 3. Найдем длины отрезков $C_1D$ и $B_1D$: - Из прямоугольного $\triangle DCC_1$: $C_1D = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{AB^2 + AA_1^2} = \sqrt{(\sqrt{11})^2 + 4^2} = \sqrt{11 + 16} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. - Из прямоугольного $\triangle B_1C_1D$: $B_1D = \sqrt{B_1C_1^2 + C_1D^2} = \sqrt{AD^2 + C_1D^2} = \sqrt{3^2 + 27} = \sqrt{9 + 27} = \sqrt{36} = 6$. 4. Вычислим косинус: $\cos \angle(B_1D, (DCC_1)) = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. **Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$**