Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $A_1B$ и $C_1D$, если $AD = 3$ см, $AC = 5$ см, $AA_1 = 4\sqrt{3}$ см.

1. Чтобы найти угол между прямыми $A_1B$ и $C_1D$, нужно заметить, что прямая $C_1D$ параллельна прямой $B_1A$. Таким образом, угол между $A_1B$ и $C_1D$ равен углу между $A_1B$ и $B_1A$. 2. Прямые $A_1B$ и $B_1A$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$ прямоугольного параллелепипеда. Поскольку грань $ABB_1A_1$ — прямоугольник, его диагонали $A_1B$ и $B_1A$ не перпендикулярны и не параллельны. Угол между ними — это угол между двумя пересекающимися диагоналями в прямоугольнике. Этот угол не всегда равен $90^\circ$, как может показаться на первый взгляд, если это не квадрат. Для прямоугольного параллелепипеда, грани которого являются прямоугольниками, диагонали грани обычно не перпендикулярны. 3. В данном случае, прямые $A_1B$ и $C_1D$ — скрещивающиеся прямые. Мы можем заменить прямую $C_1D$ на параллельную ей прямую $AB$ (так как $ABCD$ — прямоугольник, и $C_1D$ параллельна $CD$, а $CD$ параллельна $AB$, значит $C_1D$ параллельна $AB$). 4. Теперь нам нужно найти угол между прямыми $A_1B$ и $AB$. Эти прямые лежат в одной плоскости $ABB_1A_1$. Угол между ними — это угол $\angle A_1BA$ или $\angle B_1AB$. 5. В прямоугольном параллелепипеде $ABB_1A_1$ — прямоугольник. Соответственно, $AA_1 \perp AB$. 6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AB$. Угол $\angle A_1AB = 90^\circ$. Угол между прямой $A_1B$ и $AB$ — это $\angle A_1BA$. 7. У нас есть $AD = 3$ см, $AC = 5$ см, $AA_1 = 4\sqrt{3}$ см. 8. Из прямоугольного треугольника $ADC$ (так как $ABCD$ — прямоугольник, $\angle D = 90^\circ$) найдем $CD$: $AC^2 = AD^2 + CD^2$ $5^2 = 3^2 + CD^2$ $25 = 9 + CD^2$ $CD^2 = 16$ $CD = 4$ см. 9. Так как $ABCD$ — прямоугольник, $AB = CD = 4$ см. 10. Теперь у нас есть прямоугольный треугольник $A_1AB$ со сторонами $AA_1 = 4\sqrt{3}$ см и $AB = 4$ см. 11. Тангенс угла $\angle A_1BA$ равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: $\tan(\angle A_1BA) = \frac{AA_1}{AB} = \frac{4\sqrt{3}}{4} = \sqrt{3}$. 12. Известно, что $\tan(60^\circ) = \sqrt{3}$. **Ответ:** $60^\circ$