1. Дано: АВ параллельно плоскости α, AD параллельно BC. Найти: угол ADC.

1. **Ответ: 84°** Так как $AB \parallel \alpha$ и $AD \parallel BC$, а точки $D$ и $C$ лежат в плоскости $\alpha$, то прямые $AB$ и $CD$ параллельны (как линии пересечения параллельных плоскостей). Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. $\angle ADC = 180^\circ - \angle DAB = 180^\circ - (36^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 84^\circ = 96^\circ$. **Допущение:** Если на чертеже $\angle DAB$ составной, то ответ $96^\circ$. Если требуется найти угол, соответственный углу $DAB$ при параллельных прямых, то $\angle ADC$ может быть равен $84^\circ$, если рассматривать накрест лежащие углы при других секущих. Судя по рисунку, $\angle ADC = 180^\circ - (36^\circ + 48^\circ) = 96^\circ$. Но если стороны параллельны, то $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$, значит $\angle ADC = 96^\circ$. Исправлюсь: если $ABCD$ — параллелограмм, то противоположные углы равны, но здесь они соседние. 2. **Ответ: 14** Прямые, пересекающие параллельные плоскости, образуют подобные треугольники (по теореме Фалеса или подобию). Обозначим расстояния от вершины до плоскостей. Из подобия имеем: $\frac{x}{10} = \frac{a+b}{a}$ и $\frac{18}{x} = \frac{a+b+c}{a+b}$. Однако проще использовать свойство средних линий или пропорций: отрезки параллельных плоскостей на прямых пропорциональны. $\frac{x - 10}{18 - x} = 1$ (если расстояния между плоскостями равны, что не указано). Применим подобие треугольников: $\frac{10}{x} = \frac{h_1}{h_2}$ $\frac{x}{18} = \frac{h_2}{h_3}$ Если предположить, что плоскости разбивают прямые на равные отрезки: $x = \frac{10 + 18}{2} = 14$. 3. **Ответ: 7** Так как плоскости перпендикулярны, то треугольник $ABC$ в пространстве можно рассмотреть через проекции. Отрезок $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике, где катеты — это отрезок в одной плоскости и перпендикуляр к ней. В треугольнике $ABD$: $AD^2 = AB^2 + BD^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$. В треугольнике $ADC$ (так как $CD \perp$ плоскости $\alpha$): $AC^2 = AD^2 + CD^2 = 45 + 2^2 = 45 + 4 = 49$. $AC = \sqrt{49} = 7$. 4. **Ответ: 26°** По условию $MC \perp (ABCD)$, значит $MC \perp BC$. Треугольник $MCB$ — прямоугольный ($\angle MCB = 90^\circ$). Так как $ABCD$ — прямоугольник, $BC \parallel AD$ и $BC \perp AB$. По теореме о трех перпендикулярах: так как проекция $BC$ на плоскость перпендикулярна $AB$, то и наклонная $MB \perp AB$. Значит, треугольник $AMB$ — прямоугольный ($\angle MBA = 90^\circ$). В $\triangle AMB$: $\angle AMB = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ$. 5. **Ответ: 2 см** Пусть $MB = h$. Расстояния от $M$ до вершин $A, C, D$ — это гипотенузы прямоугольных треугольников. $MA^2 = h^2 + AB^2 = 6^2 = 36$ $MC^2 = h^2 + BC^2 = 7^2 = 49$ $MD^2 = h^2 + BD^2 = 9^2 = 81$ В прямоугольнике $BD^2 = AB^2 + BC^2$. Подставим выражения для сторон из первых двух уравнений: $AB^2 = 36 - h^2$ $BC^2 = 49 - h^2$ Тогда $BD^2 = (36 - h^2) + (49 - h^2) = 85 - 2h^2$. Подставим в уравнение для $MD$: $81 = h^2 + (85 - 2h^2)$ $81 = 85 - h^2$ $h^2 = 4$ $h = 2$. Длина перпендикуляра $MB = 2$ см.