16. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, в которых грань $ABCD$ является квадратом. Известно, что $AB = 8, AA_1 = \sqrt{105}$. Найдите косинус угла между прямыми $A_1D$ и $AC$.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть точка $A$ находится в начале координат $(0, 0, 0)$. Так как $ABCD$ — квадрат и $AB=8$, то: - $A = (0, 0, 0)$ - $B = (8, 0, 0)$ - $C = (8, 8, 0)$ - $D = (0, 8, 0)$ Параллелепипед прямоугольный, высота $AA_1 = \sqrt{105}$, значит: - $A_1 = (0, 0, \sqrt{105})$ Нам нужно найти косинус угла между прямыми $A_1D$ и $AC$. Воспользуемся векторами: 1. Вектор $\vec{AC} = C - A = (8 - 0, 8 - 0, 0 - 0) = (8, 8, 0)$. 2. Вектор $\vec{A_1D} = D - A_1 = (0 - 0, 8 - 0, 0 - \sqrt{105}) = (0, 8, -\sqrt{105})$. Косинус угла $\alpha$ между прямыми равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами: $\cos \alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{A_1D}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{A_1D}|}$ Вычислим скалярное произведение: $\vec{AC} \cdot \vec{A_1D} = 8 \cdot 0 + 8 \cdot 8 + 0 \cdot (-\sqrt{105}) = 0 + 64 + 0 = 64$. Вычислим длины векторов: $|\vec{AC}| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$. $|\vec{A_1D}| = \sqrt{0^2 + 8^2 + (-\sqrt{105})^2} = \sqrt{64 + 105} = \sqrt{169} = 13$. Подставим в формулу: $\cos \alpha = \frac{64}{8\sqrt{2} \cdot 13} = \frac{8}{13\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{13 \cdot 2} = \frac{4\sqrt{2}}{13}$. **Ответ:** $\frac{4\sqrt{2}}{13}$.