2. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры AC и BD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка AB, если BC = AD = 5 м, CD = 1 м. 3. В прямоугольном параллелепипеде стороны основания 3 и 5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда с плоскостью основания составляет угол 60°. Найдите диагонали параллелепипеда.

2. Пусть плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, а $c$ — линия их пересечения. Точка $A \in \alpha$, $B \in \beta$. $AC \perp c$ ($C \in c$) и $BD \perp c$ ($D \in c$). Так как $\alpha \perp \beta$ и $AC \perp c$, то по свойству перпендикулярных плоскостей $AC \perp \beta$. Следовательно, $AC \perp CB$. Рассмотрим прямоугольный $\triangle BCD$. По теореме Пифагора: $BC^2 = BD^2 + CD^2$. Так как $AD$ в условии дано как 5 м, рассмотрим прямоугольный $\triangle ACD$ (где $AC \perp CD$): $AC^2 = AD^2 - CD^2 = 5^2 - 1^2 = 25 - 1 = 24$. Из $\triangle BCD$ находим $BD$: так как $BC=5$, то $BD^2 = BC^2 - CD^2 = 5^2 - 1^2 = 24$. Теперь из прямоугольного $\triangle ACB$ ($AC \perp CB$): $AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{24 + 5^2} = \sqrt{24 + 25} = \sqrt{49} = 7$. **Ответ: 7 м**. 3. Пусть стороны основания $a = 3$ см, $b = 5$ см. Диагонали основания $d_1$ и $d_2$ связаны формулой: $2(a^2 + b^2) = d_1^2 + d_2^2$. $2(3^2 + 5^2) = 2(9 + 25) = 2 \cdot 34 = 68$. Пусть одна диагональ основания $d_1 = 4$ см, тогда $d_2^2 = 68 - 4^2 = 68 - 16 = 52$, откуда $d_2 = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ см. Меньшая диагональ основания $d_1 = 4$ (так как $4 < 2\sqrt{13} \approx 7.2$). Меньшая диагональ параллелепипеда $D_1$ образует угол $60^\circ$ с основанием. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой $H$, диагональю $D_1$ и проекцией $d_1$: $H = d_1 \cdot \tan 60^\circ = 4\sqrt{3}$ см. $D_1 = \frac{d_1}{\cos 60^\circ} = \frac{4}{0.5} = 8$ см. Большая диагональ параллелепипеда $D_2$ находится по теореме Пифагора: $D_2 = \sqrt{d_2^2 + H^2} = \sqrt{52 + (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{52 + 16 \cdot 3} = \sqrt{52 + 48} = \sqrt{100} = 10$ см. **Ответ: 8 см и 10 см**.