Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, в котором грань ABCD является квадратом. Известно, что AB = 8, AA1 = 15. Найдите косинус угла между прямыми A1D и AC.

Допущение: в тексте опечатка, имеется в виду параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $AA_1 = 10,5$ (или 15, или 105, но для школьной задачи чаще 15). Исходя из записи «$AA = 105$» и «$111 1$», вероятно, $AA_1 = 15$, а $AB = 8$. 1. Введём систему координат с началом в точке $D(0; 0; 0)$. Пусть ребро квадрата $AB = 8$, тогда $D(0;0;0)$, $A(8;0;0)$, $C(0;8;0)$, $A_1(8;0;15)$. 2. Найдём координаты векторов: $\vec{A_1D} = (0-8; 0-0; 0-15) = (-8; 0; -15)$ $\vec{AC} = (0-8; 8-0; 0-0) = (-8; 8; 0)$ 3. Найдём длины векторов: $|\vec{A_1D}| = \sqrt{(-8)^2 + 0^2 + (-15)^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$ $|\vec{AC}| = \sqrt{(-8)^2 + 8^2 + 0^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$ 4. Вычислим косинус угла $\alpha$ между прямыми через скалярное произведение: $\cos \alpha = \frac{|\vec{A_1D} \cdot \vec{AC}|}{|\vec{A_1D}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{|(-8) \cdot (-8) + 0 \cdot 8 + (-15) \cdot 0|}{17 \cdot 8\sqrt{2}} = \frac{64}{136\sqrt{2}} = \frac{8}{17\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{34} = \frac{4\sqrt{2}}{17}$ **Ответ: $\frac{4\sqrt{2}}{17}$**