В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ — середина ребра $A_1B_1$, $AB = 8$, $AD = 4$, $AA_1 = 2\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла между прямыми $BC$ и $DF$.

Question

Вопрос:

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ — середина ребра $A_1B_1$, $AB = 8$, $AD = 4$, $AA_1 = 2\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла между прямыми $BC$ и $DF$.

$В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ — середина ребра $A_1B_1$, $AB = 8$, $AD = 4$, $AA_1 = 2\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла между прямыми $BC$ и $DF$.$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра параллельны или перпендикулярны друг другу. Чтобы найти угол между скрещивающимися прямыми $BC$ и $DF$, воспользуемся методом параллельного переноса. 1. Прямая $BC$ параллельна прямой $AD$ (свойства прямоугольника $ABCD$). Следовательно, угол между $BC$ и $DF$ равен углу между $AD$ и $DF$. Искомый угол — $\angle ADF$ в треугольнике $ADF$. 2. Рассмотрим треугольник $ADF$. Отрезок $AF$ лежит в грани $ABB_1A_1$. Так как $AD$ перпендикулярно грани $ABB_1A_1$ (свойство параллелепипеда), то $AD \perp AF$. Значит, $\triangle ADF$ — прямоугольный с прямым углом $A$. 3. Найдем катет $AF$ из прямоугольного треугольника $AA_1F$: - $AA_1 = 2\sqrt{5}$ - $A_1F = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4$ (так как $F$ — середина $A_1B_1$) - По теореме Пифагора: $AF^2 = AA_1^2 + A_1F^2 = (2\sqrt{5})^2 + 4^2 = 20 + 16 = 36$ - $AF = \sqrt{36} = 6$ 4. В прямоугольном треугольнике $ADF$ ($\angle A = 90^\circ$): - $\text{tg } \angle ADF = \frac{AF}{AD} = \frac{6}{4} = 1,5$ **Ответ: 1,5**

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $F$ — середина ребра $A_1B_1$, $AB = 8$, $AD = 4$, $AA_1 = 2\sqrt{5}$. Найдите тангенс угла между прямыми $BC$ и $DF$.

Ответ ассистента

Похожие задачи

Другие решения