Решите уравнение $x^2 - 4x = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10$

11) Реши уравнение $x^2 - 4x = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10$ Пусть $t = x^2 - 4x$. Тогда уравнение примет вид: $$t = 3\sqrt{t + 20} - 10$$ Перенесем $-10$ влево: $$t + 10 = 3\sqrt{t + 20}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат. При этом надо помнить, что $t+10 \ge 0$, то есть $t \ge -10$. $$(t + 10)^2 = (3\sqrt{t + 20})^2$$ $$t^2 + 20t + 100 = 9(t + 20)$$ $$t^2 + 20t + 100 = 9t + 180$$ $$t^2 + 11t - 80 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$$ Найдем значения $t$: $$t_1 = \frac{-11 - 21}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ $$t_2 = \frac{-11 + 21}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ Проверим условие $t \ge -10$. Корень $t_1 = -16$ не подходит, так как $-16 < -10$. Корень $t_2 = 5$ подходит, так как $5 \ge -10$. Теперь вернемся к замене $t = x^2 - 4x$. Подставим $t = 5$: $$x^2 - 4x = 5$$ $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Найдем корни этого квадратного уравнения: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$ Найдем значения $x$: $$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ **Ответ:** $x_1 = -1$, $x_2 = 5$