Решите уравнение $x + 1 = \sqrt{8 - 4x}$

1) Решить уравнение $x + 1 = \sqrt{8 - 4x}$ Сначала нужно найти область допустимых значений (ОДЗ) для $x$. Для этого подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а правая часть уравнения — тоже неотрицательной, так как корень всегда положителен. 1. Подкоренное выражение: $$8 - 4x \ge 0$$ $$-4x \ge -8$$ $$x \le 2$$ 2. Правая часть уравнения (левая часть изначально): $$x + 1 \ge 0$$ $$x \ge -1$$ Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $-1 \le x \le 2$. Теперь возводим обе части уравнения в квадрат: $$(x + 1)^2 = (\sqrt{8 - 4x})^2$$ $$x^2 + 2x + 1 = 8 - 4x$$ Переносим все члены в левую часть: $$x^2 + 2x + 4x + 1 - 8 = 0$$ $$x^2 + 6x - 7 = 0$$ Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае $a=1$, $b=6$, $c=-7$. $$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ Находим корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Теперь проверяем, подходят ли эти корни под ОДЗ ($-1 \le x \le 2$): * $x_1 = 1$: Это значение входит в ОДЗ, так как $-1 \le 1 \le 2$. * $x_2 = -7$: Это значение не входит в ОДЗ, так как $-7 < -1$. Значит, подходит только один корень. **Ответ:** $x = 1$