Реши уравнения с 3) по 11) включительно.

3) Реши уравнение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{3} = 0$ $\sqrt{2x+3} = -\sqrt{3}$ Квадратный корень не может быть отрицательным числом, поэтому у этого уравнения нет решений. **Ответ: нет решений** 4) Реши уравнение $\sqrt{4x^2-9x+2} = x-2$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x^2-9x+2})^2 = (x-2)^2$ $4x^2-9x+2 = x^2-4x+4$ $4x^2-x^2-9x+4x+2-4 = 0$ $3x^2-5x-2 = 0$ Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$ $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ $x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5+7}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5-7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Теперь нужно проверить эти корни, потому что $x-2$ не может быть отрицательным. Значит, $x-2 \ge 0$, то есть $x \ge 2$. Для $x_1 = 2$: $x-2 = 2-2 = 0$. Подставим в исходное уравнение: $\sqrt{4(2)^2-9(2)+2} = 2-2$ $\sqrt{16-18+2} = 0$ $\sqrt{0} = 0$. Это верно. Для $x_2 = -\frac{1}{3}$: $x-2 = -\frac{1}{3}-2 = -2\frac{1}{3}$. Это отрицательное число, поэтому $x_2$ не является решением. **Ответ: $x=2$** 5) Реши уравнение $\sqrt{-3x-x^2} = 9$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{-3x-x^2})^2 = 9^2$ $-3x-x^2 = 81$ $x^2+3x+81 = 0$ Найдём дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 9 - 324 = -315$ Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), то у квадратного уравнения нет действительных корней. **Ответ: нет решений** 6) Реши уравнение $\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2$ Перенесем один корень в правую часть: $\sqrt{x+13} = 2 + \sqrt{x+1}$ Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+13})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$ $x+13 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$ $x+13 = 5 + x + 4\sqrt{x+1}$ $13-5 = 4\sqrt{x+1}$ $8 = 4\sqrt{x+1}$ $\frac{8}{4} = \sqrt{x+1}$ $2 = \sqrt{x+1}$ Возведём обе части уравнения в квадрат ещё раз: $2^2 = (\sqrt{x+1})^2$ $4 = x+1$ $x = 4-1$ $x = 3$ Проверим корень: $\sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = 2$ $\sqrt{16} - \sqrt{4} = 2$ $4 - 2 = 2$ $2 = 2$. Это верно. Также учтем ограничения: $x+13 \ge 0 \implies x \ge -13$ и $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Корень $x=3$ удовлетворяет этим условиям. **Ответ: $x=3$** 7) Реши уравнение $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$ Ограничения: $3x+4 \ge 0 \implies x \ge -4/3$, $x-4 \ge 0 \implies x \ge 4$, $x \ge 0$. Общее ограничение: $x \ge 4$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$ $(3x+4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} + (x-4) = 4x$ $4x + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 4x$ $2\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 0$ $\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 0$ $(3x+4)(x-4) = 0$ $3x+4 = 0$ или $x-4 = 0$ $3x = -4 \implies x = -4/3$ $x = 4$ Проверим корни с учётом ограничения $x \ge 4$: Корень $x = -4/3$ не подходит, так как он меньше 4. Корень $x = 4$: $\sqrt{3(4)+4} + \sqrt{4-4} = 2\sqrt{4}$ $\sqrt{12+4} + \sqrt{0} = 2 \cdot 2$ $\sqrt{16} + 0 = 4$ $4 = 4$. Это верно. **Ответ: $x=4$** 8) Реши уравнение $\sqrt{4+x\sqrt{5-x}} = 2\sqrt{2}$ Ограничения: $5-x \ge 0 \implies x \le 5$. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то есть $4+x\sqrt{5-x} \ge 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4+x\sqrt{5-x}})^2 = (2\sqrt{2})^2$ $4+x\sqrt{5-x} = 4 \cdot 2$ $4+x\sqrt{5-x} = 8$ $x\sqrt{5-x} = 8-4$ $x\sqrt{5-x} = 4$ Если $x$ отрицательное, левая часть будет отрицательной, а правая - положительной, что невозможно. Значит, $x \ge 0$. С учётом $x \le 5$, имеем $0 \le x \le 5$. Возведём обе части уравнения в квадрат ещё раз: $(x\sqrt{5-x})^2 = 4^2$ $x^2(5-x) = 16$ $5x^2 - x^3 = 16$ $x^3 - 5x^2 + 16 = 0$ Попробуем найти целые корни среди делителей числа 16: $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$. Проверим $x=1$: $1^3 - 5(1)^2 + 16 = 1 - 5 + 16 = 12 \ne 0$ Проверим $x=2$: $2^3 - 5(2)^2 + 16 = 8 - 5(4) + 16 = 8 - 20 + 16 = 4 \ne 0$ Проверим $x=4$: $4^3 - 5(4)^2 + 16 = 64 - 5(16) + 16 = 64 - 80 + 16 = 0$ Значит, $x=4$ является корнем уравнения. Проверим этот корень в исходном уравнении и в условии $x\sqrt{5-x}=4$: $4\sqrt{5-4} = 4\sqrt{1} = 4$. Это верно. Проверим, есть ли ещё корни. Можно разделить многочлен $x^3 - 5x^2 + 16$ на $(x-4)$. $$ \begin{array}{cccc|l} x^3 & -5x^2 & +0x & +16 & x-4 \\ \cline{2-5} -(x^3 & -4x^2) & & & x^2-x-4 \\ \cline{2-3} & -x^2 & +0x \\ & -(-x^2 & +4x) \\ \cline{3-4} & & -4x & +16 \\ & & -(-4x & +16) \\ \cline{4-5} & & & 0 \end{array} $$ Получаем $x^2-x-4=0$. $D = (-1)^2 - 4(1)(-4) = 1 + 16 = 17$ $x = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ $x_1 = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ и $x_2 = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$ Примерно $\sqrt{17} \approx 4.12$. $x_1 \approx \frac{1+4.12}{2} = \frac{5.12}{2} = 2.56$. Этот корень находится в диапазоне $0 \le x \le 5$. Проверим его в $x\sqrt{5-x}=4$: $(2.56)\sqrt{5-2.56} = (2.56)\sqrt{2.44} \approx 2.56 \cdot 1.56 \approx 3.99 \approx 4$. $x_2 \approx \frac{1-4.12}{2} = \frac{-3.12}{2} = -1.56$. Этот корень не подходит, так как он не удовлетворяет условию $x \ge 0$. Значит, подходят $x=4$ и $x = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$. **Ответ: $x=4$, $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$** 9) Реши уравнение $\sqrt{7-\sqrt{x+1}} = 2$ Ограничения: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$. Также $7-\sqrt{x+1} \ge 0 \implies \sqrt{x+1} \le 7$. Возведём в квадрат: $x+1 \le 49 \implies x \le 48$. Общее ограничение: $-1 \le x \le 48$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{7-\sqrt{x+1}})^2 = 2^2$ $7-\sqrt{x+1} = 4$ $7-4 = \sqrt{x+1}$ $3 = \sqrt{x+1}$ Возведём обе части в квадрат ещё раз: $3^2 = (\sqrt{x+1})^2$ $9 = x+1$ $x = 9-1$ $x = 8$ Проверим корень $x=8$ с учётом ограничений: $-1 \le 8 \le 48$. Подходит. Проверим в исходном уравнении: $\sqrt{7-\sqrt{8+1}} = 2$ $\sqrt{7-\sqrt{9}} = 2$ $\sqrt{7-3} = 2$ $\sqrt{4} = 2$ $2 = 2$. Это верно. **Ответ: $x=8$** 10) Реши уравнение $\sqrt{17+\sqrt{x}} = \sqrt{20-2\sqrt{x}}$ Ограничения: $x \ge 0$. Также $17+\sqrt{x} \ge 0$ (всегда верно при $x \ge 0$) и $20-2\sqrt{x} \ge 0$. $20-2\sqrt{x} \ge 0$ $20 \ge 2\sqrt{x}$ $10 \ge \sqrt{x}$ Возведём в квадрат: $100 \ge x$. Таким образом, $0 \le x \le 100$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{17+\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20-2\sqrt{x}})^2$ $17+\sqrt{x} = 20-2\sqrt{x}$ Перенесём члены с $\sqrt{x}$ в одну сторону, а числа в другую: $\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20-17$ $3\sqrt{x} = 3$ $\sqrt{x} = 1$ Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$ $x = 1$ Проверим корень $x=1$ с учётом ограничений: $0 \le 1 \le 100$. Подходит. Проверим в исходном уравнении: $\sqrt{17+\sqrt{1}} = \sqrt{20-2\sqrt{1}}$ $\sqrt{17+1} = \sqrt{20-2}$ $\sqrt{18} = \sqrt{18}$. Это верно. **Ответ: $x=1$** 11) Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$ Ограничения: $x+2 > 0 \implies x > -2$. (Не равно 0, так как находится в знаменателе). Пусть $y = \sqrt{x+2}$. Тогда уравнение примет вид: $y - \frac{2}{y} = 1$ Умножим всё на $y$ (так как $y = \sqrt{x+2}$ всегда положительное, $y \ne 0$): $y^2 - 2 = y$ $y^2 - y - 2 = 0$ Решим квадратное уравнение для $y$: $D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9$ $y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2(1)}$ $y = \frac{1 \pm 3}{2}$ $y_1 = \frac{1+3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $y_2 = \frac{1-3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Так как $y = \sqrt{x+2}$, $y$ не может быть отрицательным. Поэтому $y_2 = -1$ не подходит. Используем $y_1 = 2$: $\sqrt{x+2} = 2$ Возведём обе части в квадрат: $(\sqrt{x+2})^2 = 2^2$ $x+2 = 4$ $x = 4-2$ $x = 2$ Проверим корень $x=2$ с учётом ограничения $x > -2$. $2 > -2$. Подходит. Проверим в исходном уравнении: $\sqrt{2+2} - \frac{2}{\sqrt{2+2}} = 1$ $\sqrt{4} - \frac{2}{\sqrt{4}} = 1$ $2 - \frac{2}{2} = 1$ $2 - 1 = 1$ $1 = 1$. Это верно. **Ответ: $x=2$**