Решите уравнения: 3) $\sqrt{-4x^2 - 16} = 2$

3) $\sqrt{-4x^2 - 16} = 2$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{-4x^2 - 16})^2 = 2^2$$ $$-4x^2 - 16 = 4$$ Перенесем число 16 в правую часть: $$-4x^2 = 4 + 16$$ $$-4x^2 = 20$$ Разделим обе части на -4: $$x^2 = \frac{20}{-4}$$ $$x^2 = -5$$ Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, это уравнение не имеет действительных решений. **Ответ: нет решений** 4) $x + 1 = \sqrt{8 - 4x}$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(x+1)^2 = (\sqrt{8-4x})^2$$ $$x^2 + 2x + 1 = 8 - 4x$$ Перенесем все члены в левую часть: $$x^2 + 2x + 4x + 1 - 8 = 0$$ $$x^2 + 6x - 7 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Теперь нужно проверить полученные корни, подставив их в исходное уравнение, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни. Проверка для $x_1 = 1$: $$1 + 1 = \sqrt{8 - 4 \cdot 1}$$ $$2 = \sqrt{8 - 4}$$ $$2 = \sqrt{4}$$ $$2 = 2$$ Корень $x_1 = 1$ подходит. Проверка для $x_2 = -7$: $$-7 + 1 = \sqrt{8 - 4 \cdot (-7)}$$ $$-6 = \sqrt{8 + 28}$$ $$-6 = \sqrt{36}$$ $$-6 = 6$$ Это неверно, так как $-6 \ne 6$. Значит, корень $x_2 = -7$ является посторонним. **Ответ: 1** 5) $\sqrt{2x} + \sqrt{x-3} = -1$ Квадратный корень всегда дает неотрицательный результат. Сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу -1. Следовательно, это уравнение не имеет решений. **Ответ: нет решений** 6) $\sqrt{x+17} - \sqrt{x+1} = 2$ Перенесем один корень в правую часть, чтобы удобнее было возводить в квадрат: $$\sqrt{x+17} = 2 + \sqrt{x+1}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{x+17})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$$ $$x+17 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$$ $$x+17 = 4 + 4\sqrt{x+1} + x + 1$$ $$x+17 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$$ Вычтем $x$ из обеих частей: $$17 = 5 + 4\sqrt{x+1}$$ Перенесем 5 в левую часть: $$17 - 5 = 4\sqrt{x+1}$$ $$12 = 4\sqrt{x+1}$$ Разделим обе части на 4: $$3 = \sqrt{x+1}$$ Возведем обе части в квадрат еще раз: $$3^2 = (\sqrt{x+1})^2$$ $$9 = x+1$$ Найдем $x$: $$x = 9 - 1$$ $$x = 8$$ Теперь проверим корень $x=8$ в исходном уравнении: $$\sqrt{8+17} - \sqrt{8+1} = 2$$ $$\sqrt{25} - \sqrt{9} = 2$$ $$5 - 3 = 2$$ $$2 = 2$$ Корень $x=8$ подходит. **Ответ: 8** 7) $\sqrt{1-2x} - \sqrt{13+x} = \sqrt{x+4}$ ОДЗ (область допустимых значений): $1-2x \ge 0 \Rightarrow 1 \ge 2x \Rightarrow x \le 0.5$ $13+x \ge 0 \Rightarrow x \ge -13$ $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$ Таким образом, $x \in [-4; 0.5]$. Перенесем $-\sqrt{13+x}$ в правую часть: $$\sqrt{1-2x} = \sqrt{x+4} + \sqrt{13+x}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{1-2x})^2 = (\sqrt{x+4} + \sqrt{13+x})^2$$ $$1-2x = (x+4) + 2\sqrt{(x+4)(13+x)} + (13+x)$$ $$1-2x = 2x + 17 + 2\sqrt{13x + x^2 + 52 + 4x}$$ $$1-2x = 2x + 17 + 2\sqrt{x^2 + 17x + 52}$$ Перенесем $2x + 17$ в левую часть: $$1-2x - 2x - 17 = 2\sqrt{x^2 + 17x + 52}$$ $$-4x - 16 = 2\sqrt{x^2 + 17x + 52}$$ Разделим обе части на 2: $$-2x - 8 = \sqrt{x^2 + 17x + 52}$$ Теперь нам нужно, чтобы правая часть была неотрицательной, то есть $-2x - 8 \ge 0 \Rightarrow -2x \ge 8 \Rightarrow x \le -4$. С учетом ОДЗ, $x$ может быть равен только $-4$. Проверим $x=-4$: $$-2(-4) - 8 = \sqrt{(-4)^2 + 17(-4) + 52}$$ $$8 - 8 = \sqrt{16 - 68 + 52}$$ $$0 = \sqrt{0}$$ $$0 = 0$$ Таким образом, $x=-4$ является решением. **Ответ: -4** 8) $\sqrt{3-x} \cdot \sqrt{x+4} = \sqrt{6}$ ОДЗ (область допустимых значений): $3-x \ge 0 \Rightarrow 3 \ge x \Rightarrow x \le 3$ $x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -4$ Таким образом, $x \in [-4; 3]$. Объединим корни в левой части: $$\sqrt{(3-x)(x+4)} = \sqrt{6}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{(3-x)(x+4)})^2 = (\sqrt{6})^2$$ $$(3-x)(x+4) = 6$$ $$3x + 12 - x^2 - 4x = 6$$ $$-x^2 - x + 12 = 6$$ Перенесем 6 в левую часть: $$-x^2 - x + 12 - 6 = 0$$ $$-x^2 - x + 6 = 0$$ Умножим на -1 для удобства: $$x^2 + x - 6 = 0$$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$ Оба корня $x_1 = 2$ и $x_2 = -3$ входят в ОДЗ $x \in [-4; 3]$. **Ответ: 2; -3** 9) $\sqrt{5 + \sqrt{x-1}} = 3$ ОДЗ (область допустимых значений): $x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$ $5 + \sqrt{x-1} \ge 0$ (это всегда верно, так как $\sqrt{x-1} \ge 0$) Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{5 + \sqrt{x-1}})^2 = 3^2$$ $$5 + \sqrt{x-1} = 9$$ Перенесем 5 в правую часть: $$\sqrt{x-1} = 9 - 5$$ $$\sqrt{x-1} = 4$$ Возведем обе части в квадрат еще раз: $$(\sqrt{x-1})^2 = 4^2$$ $$x-1 = 16$$ Найдем $x$: $$x = 16 + 1$$ $$x = 17$$ Корень $x=17$ входит в ОДЗ $x \ge 1$. **Ответ: 17** 10) $\sqrt{13 + \sqrt{x}} = \sqrt{17 - 3\sqrt{x}}$ ОДЗ (область допустимых значений): $x \ge 0$ $13 + \sqrt{x} \ge 0$ (всегда верно) $17 - 3\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow 17 \ge 3\sqrt{x} \Rightarrow \sqrt{x} \le \frac{17}{3}$. Возведем в квадрат: $x \le (\frac{17}{3})^2 = \frac{289}{9} \approx 32.11$ Таким образом, $x \in [0; \frac{289}{9}]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(\sqrt{13 + \sqrt{x}})^2 = (\sqrt{17 - 3\sqrt{x}})^2$$ $$13 + \sqrt{x} = 17 - 3\sqrt{x}$$ Перенесем члены с $\sqrt{x}$ в одну сторону, а числа в другую: $$\sqrt{x} + 3\sqrt{x} = 17 - 13$$ $$4\sqrt{x} = 4$$ Разделим обе части на 4: $$\sqrt{x} = 1$$ Возведем обе части в квадрат: $$(\sqrt{x})^2 = 1^2$$ $$x = 1$$ Корень $x=1$ входит в ОДЗ $x \in [0; \frac{289}{9}]$. **Ответ: 1** 11) $x^2 - 4x = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10$ Введем замену переменной. Пусть $y = x^2 - 4x$. Тогда уравнение примет вид: $$y = 3\sqrt{y + 20} - 10$$ Перенесем -10 в левую часть: $$y + 10 = 3\sqrt{y + 20}$$ ОДЗ для $y$: $y+20 \ge 0 \Rightarrow y \ge -20$. Также $y+10 \ge 0 \Rightarrow y \ge -10$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(y + 10)^2 = (3\sqrt{y + 20})^2$$ $$y^2 + 20y + 100 = 9(y + 20)$$ $$y^2 + 20y + 100 = 9y + 180$$ Перенесем все члены в левую часть: $$y^2 + 20y - 9y + 100 - 180 = 0$$ $$y^2 + 11y - 80 = 0$$ Решим квадратное уравнение для $y$: $$D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 121 + 320 = 441$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$$ $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_1 = \frac{-11 + 21}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-11 - 21}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Проверим полученные значения $y$ с учетом условия $y \ge -10$. Для $y_1 = 5$: $5 \ge -10$, подходит. Для $y_2 = -16$: $-16 < -10$, не подходит. Это посторонний корень для $y$. Теперь вернемся к замене $y = x^2 - 4x$. У нас есть $y=5$: $$x^2 - 4x = 5$$ $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Решим это квадратное уравнение для $x$: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$$ $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1}$$ $$x_1 = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня $x=5$ и $x=-1$ являются решениями. **Ответ: 5; -1**