Реши уравнение 11) $x^2 - 4x = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10$

11) Реши уравнение $x^2 - 4x = 3\sqrt{x^2 - 4x + 20} - 10$ **Допущение:** предполагается, что между $3$ и $\sqrt{x^2 - 4x + 20}$ стоит знак умножения. Давай сделаем замену переменной, чтобы упростить уравнение. Пусть $y = x^2 - 4x$. Тогда уравнение примет вид: $$y = 3\sqrt{y + 20} - 10$$ Перенесем $-10$ влево: $$y + 10 = 3\sqrt{y + 20}$$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $$(y + 10)^2 = (3\sqrt{y + 20})^2$$ $$y^2 + 20y + 100 = 9(y + 20)$$ $$y^2 + 20y + 100 = 9y + 180$$ $$y^2 + 20y - 9y + 100 - 180 = 0$$ $$y^2 + 11y - 80 = 0$$ Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$ $$D = 11^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)$$ $$D = 121 + 320$$ $$D = 441$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$$ $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 21}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 21}{2} = \frac{-32}{2} = -16$$ Теперь нужно проверить эти значения $y$ в уравнении $y + 10 = 3\sqrt{y + 20}$. Для $y_1 = 5$: $$5 + 10 = 3\sqrt{5 + 20}$$ $$15 = 3\sqrt{25}$$ $$15 = 3 \cdot 5$$ $$15 = 15$$ Это верно, значит $y = 5$ — подходящее значение. Для $y_2 = -16$: $$-16 + 10 = 3\sqrt{-16 + 20}$$ $$-6 = 3\sqrt{4}$$ $$-6 = 3 \cdot 2$$ $$-6 = 6$$ Это неверно, значит $y = -16$ — посторонний корень. Возвращаемся к замене переменной $x^2 - 4x = y$. У нас $y = 5$. $$x^2 - 4x = 5$$ $$x^2 - 4x - 5 = 0$$ Снова найдем корни квадратного уравнения: $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)$$ $$D = 16 + 20$$ $$D = 36$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6$$ $$x_1 = \frac{-(-4) + 6}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$x_2 = \frac{-(-4) - 6}{2} = \frac{4 - 6}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ **Ответ: $x_1 = 5$, $x_2 = -1$**