Реши уравнение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{3} = 0$

1. Реши уравнение $\sqrt{2x+3} + \sqrt{3} = 0$ $\sqrt{2x+3} = -\sqrt{3}$ Квадратный корень не может быть отрицательным числом. Значит, у этого уравнения нет решений. **Ответ: нет решений** 2. Реши уравнение $\sqrt{4x^2-9x+2} = x-2$ Для начала нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным и правая часть была неотрицательной: $4x^2-9x+2 \ge 0$ и $x-2 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4x^2-9x+2})^2 = (x-2)^2$ $4x^2-9x+2 = x^2 - 4x + 4$ $4x^2 - x^2 - 9x + 4x + 2 - 4 = 0$ $3x^2 - 5x - 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$ Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$ $x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$ Проверим корни с учётом условия $x \ge 2$: Для $x_1 = 2$: $2 \ge 2$ — подходит. Для $x_2 = -\frac{1}{3}$: $- \frac{1}{3} < 2$ — не подходит. **Ответ: $x = 2$** 3. Реши уравнение $\sqrt{-3x-x^2} = 9$ Сначала установим область допустимых значений (ОДЗ): $-3x-x^2 \ge 0$ $-x(3+x) \ge 0$ $x(3+x) \le 0$ Корни: $x=0$ и $x=-3$. Используя метод интервалов, получаем ОДЗ: $[-3; 0]$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{-3x-x^2})^2 = 9^2$ $-3x-x^2 = 81$ $x^2 + 3x + 81 = 0$ Найдем дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 81 = 9 - 324 = -315$ Дискриминант отрицательный ($D < 0$), значит, уравнение не имеет действительных корней. **Ответ: нет решений** 4. Реши уравнение $\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2$ Перенесем один из корней в правую часть: $\sqrt{x+13} = 2 + \sqrt{x+1}$ Ограничения: $x+13 \ge 0 \Rightarrow x \ge -13$, и $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$. Общее ограничение: $x \ge -1$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{x+13})^2 = (2 + \sqrt{x+1})^2$ $x+13 = 4 + 4\sqrt{x+1} + (x+1)$ $x+13 = 5 + x + 4\sqrt{x+1}$ $13 - 5 = 4\sqrt{x+1}$ $8 = 4\sqrt{x+1}$ $\sqrt{x+1} = 2$ Снова возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+1})^2 = 2^2$ $x+1 = 4$ $x = 3$ Проверим корень с учётом условия $x \ge -1$: Для $x=3$: $3 \ge -1$ — подходит. **Ответ: $x=3$** 5. Реши уравнение $\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4} = 2\sqrt{x}$ Ограничения: $3x+4 \ge 0 \Rightarrow x \ge -\frac{4}{3}$ $x-4 \ge 0 \Rightarrow x \ge 4$ $x \ge 0$ Общее ограничение: $x \ge 4$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{3x+4} + \sqrt{x-4})^2 = (2\sqrt{x})^2$ $(3x+4) + (x-4) + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 4x$ $4x + 2\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 4x$ $2\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 0$ $\sqrt{(3x+4)(x-4)} = 0$ $(3x+4)(x-4) = 0$ $3x+4=0 \Rightarrow x_1 = -\frac{4}{3}$ $x-4=0 \Rightarrow x_2 = 4$ Проверим корни с учётом условия $x \ge 4$: Для $x_1 = -\frac{4}{3}$: $- \frac{4}{3} < 4$ — не подходит. Для $x_2 = 4$: $4 \ge 4$ — подходит. **Ответ: $x=4$** 6. Реши уравнение $\sqrt{4+x \cdot \sqrt{5-x}} = 2\sqrt{2}$ Допущение: между $x$ и $\sqrt{5-x}$ стоит умножение. Ограничения: $5-x \ge 0 \Rightarrow x \le 5$ $4+x\sqrt{5-x} \ge 0$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{4+x\sqrt{5-x}})^2 = (2\sqrt{2})^2$ $4+x\sqrt{5-x} = 4 \cdot 2$ $4+x\sqrt{5-x} = 8$ $x\sqrt{5-x} = 4$ Теперь рассмотрим случаи: Если $x < 0$, то $x\sqrt{5-x}$ будет отрицательным, а $4$ - положительным. Значит, решений нет при $x < 0$. Если $x = 0$, то $0 \cdot \sqrt{5-0} = 0 \ne 4$. Значит, $x \ne 0$. Если $x > 0$ (и $x \le 5$), то возведем обе части в квадрат: $(x\sqrt{5-x})^2 = 4^2$ $x^2(5-x) = 16$ $5x^2 - x^3 = 16$ $x^3 - 5x^2 + 16 = 0$ Попробуем найти целые корни среди делителей 16: $\pm1, \pm2, \pm4, \pm8, \pm16$. Проверим $x=1$: $1^3 - 5(1)^2 + 16 = 1 - 5 + 16 = 12 \ne 0$ Проверим $x=2$: $2^3 - 5(2)^2 + 16 = 8 - 5(4) + 16 = 8 - 20 + 16 = 4 \ne 0$ Проверим $x=4$: $4^3 - 5(4)^2 + 16 = 64 - 5(16) + 16 = 64 - 80 + 16 = 0$ Значит, $x=4$ является корнем. Он удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \le 5$. Также при $x=4$ подкоренное выражение $4+4\sqrt{5-4} = 4+4\sqrt{1} = 4+4=8 \ge 0$. Разделим многочлен $x^3 - 5x^2 + 16$ на $(x-4)$ столбиком: $$ \begin{array}{cccc|l} x^3 & -5x^2 & +0x & +16 & x-4 \\ \hline x^3 & -4x^2 & & & x^2-x-4 \\ \hline & -x^2 & +0x \\ & -x^2 & +4x \\ \hline & & -4x & +16 \\ & & -4x & +16 \\ \hline & & & 0 \\ \end{array} $$ Получаем $x^2 - x - 4 = 0$ Найдем корни этого квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 1 + 16 = 17$ $x_{3,4} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}$ $\sqrt{17}$ это примерно $4.12$. Тогда: $x_3 = \frac{1 + 4.12}{2} = \frac{5.12}{2} = 2.56$ $x_4 = \frac{1 - 4.12}{2} = \frac{-3.12}{2} = -1.56$ Проверим $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$: $x_3 \approx 2.56$. Это значение удовлетворяет условиям $x > 0$ и $x \le 5$. Проверим, выполняется ли $x\sqrt{5-x}=4$ для $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$: $(\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) \sqrt{5 - \frac{1 + \sqrt{17}}{2}} = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) \sqrt{\frac{10 - 1 - \sqrt{17}}{2}} = (\frac{1 + \sqrt{17}}{2}) \sqrt{\frac{9 - \sqrt{17}}{2}}$ Это не выглядит как 4. Скорее всего, другие корни не подойдут. Давайте вернемся к уравнению $x\sqrt{5-x}=4$. Мы возводили в квадрат, что может привести к появлению посторонних корней. Нужно проверить найденные корни в исходном уравнении $\sqrt{4+x\sqrt{5-x}} = 2\sqrt{2}$. Проверим $x=4$: $\sqrt{4+4\sqrt{5-4}} = \sqrt{4+4\sqrt{1}} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Верно. Проверим $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$: Поскольку $x > 0$, то $x\sqrt{5-x}$ должно быть $4$. Для $x_3 = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$ у нас $x^3 - 5x^2 + 16 = 0$, что означает $x^2(5-x) = 16$. Если $x^2(5-x)=16$, то $x\sqrt{5-x} = \pm 4$. Но так как $x>0$ и $\sqrt{5-x} \ge 0$, то $x\sqrt{5-x}$ должно быть неотрицательным, то есть $x\sqrt{5-x} = 4$. Значит, этот корень также является решением уравнения $x\sqrt{5-x} = 4$. Осталось проверить условие $x \le 5$. $\frac{1+\sqrt{17}}{2} \approx 2.56$, что меньше 5. Значит, $x = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$ также является решением. Проверим $x_4 = \frac{1 - \sqrt{17}}{2}$: $x_4 \approx -1.56$. Это значение не удовлетворяет условию $x > 0$. **Ответ: $x=4$, $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$** 7. Реши уравнение $\sqrt{7-\sqrt{x+1}} = 2$ Ограничения: $x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$ $7-\sqrt{x+1} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x+1} \le 7$ Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{7-\sqrt{x+1}})^2 = 2^2$ $7-\sqrt{x+1} = 4$ $\sqrt{x+1} = 7-4$ $\sqrt{x+1} = 3$ Снова возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x+1})^2 = 3^2$ $x+1 = 9$ $x = 8$ Проверим корень с учётом условий: Для $x=8$: $8 \ge -1$ — подходит. $\sqrt{8+1} = \sqrt{9} = 3$. Тогда $7 - 3 = 4 \ge 0$ — подходит. **Ответ: $x=8$** 8. Реши уравнение $\sqrt{17+\sqrt{x}} = \sqrt{20-2\sqrt{x}}$ Ограничения: $x \ge 0$ $17+\sqrt{x} \ge 0$ (всегда выполняется, так как $\sqrt{x} \ge 0$) $20-2\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow 2\sqrt{x} \le 20 \Rightarrow \sqrt{x} \le 10 \Rightarrow x \le 100$ Общее ограничение: $0 \le x \le 100$. Возведем обе части уравнения в квадрат: $(\sqrt{17+\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20-2\sqrt{x}})^2$ $17+\sqrt{x} = 20-2\sqrt{x}$ $\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20 - 17$ $3\sqrt{x} = 3$ $\sqrt{x} = 1$ Возведем обе части в квадрат: $(\sqrt{x})^2 = 1^2$ $x = 1$ Проверим корень с учётом условия $0 \le x \le 100$: Для $x=1$: $0 \le 1 \le 100$ — подходит. **Ответ: $x=1$** 9. Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$ Ограничения: $x+2 > 0 \Rightarrow x > -2$. Умножим обе части уравнения на $\sqrt{x+2}$: $(\sqrt{x+2})^2 - \frac{2}{\sqrt{x+2}} \cdot \sqrt{x+2} = 1 \cdot \sqrt{x+2}$ $x+2 - 2 = \sqrt{x+2}$ $x = \sqrt{x+2}$ Если $x < 0$, то $\sqrt{x+2}$ будет положительным, а $x$ - отрицательным. Значит, решений нет при $x < 0$. Если $x = 0$, то $0 = \sqrt{0+2} \Rightarrow 0 = \sqrt{2}$ — неверно. Если $x > 0$ (и $x > -2$, что уже включено), возведем обе части в квадрат: $x^2 = (\sqrt{x+2})^2$ $x^2 = x+2$ $x^2 - x - 2 = 0$ Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$ Найдем корни уравнения: $x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$ $x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Проверим корни с учётом условия $x > 0$: Для $x_1=2$: $2 > 0$ — подходит. Для $x_2=-1$: $-1 < 0$ — не подходит. **Ответ: $x=2$**