Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$

Question

Вопрос:

Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$

$Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$$

Фотография

Ответ ассистента

Accepted Answer

11) Реши уравнение. $$\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$$ Область допустимых значений: $x+2 > 0$, то есть $x > -2$. Пусть $y = \sqrt{x+2}$. Тогда уравнение примет вид: $$y - \frac{2}{y} = 1$$ Умножим всё на $y$ (мы знаем, что $y \neq 0$): $$y^2 - 2 = y$$ Перенесём все члены в одну сторону: $$y^2 - y - 2 = 0$$ Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ Найдем корни для $y$: $$y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Так как $y = \sqrt{x+2}$, $y$ не может быть отрицательным. Значит, $y_2 = -1$ не подходит. Используем $y_1 = 2$: $$\sqrt{x+2} = 2$$ Возведем обе части в квадрат: $$x+2 = 2^2$$ $$x+2 = 4$$ $$x = 4 - 2$$ $$x = 2$$ Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x$ области допустимых значений $x > -2$: $2 > -2$, это верно. **Ответ:** $x = 2$

Реши уравнение $\sqrt{x+2} - \frac{2}{\sqrt{x+2}} = 1$

Ответ ассистента

Другие решения