Решите уравнение $$\frac{4\sin^3 x - 2\sin x}{\sin(2x - \pi)} = 1$$

а) Решим уравнение $$\frac{4\sin^3 x - 2\sin x}{\sin(2x - \pi)} = 1$$ Сначала упростим знаменатель: $$\sin(2x - \pi) = -\sin(\pi - 2x) = -\sin(2x)$$ Тогда уравнение примет вид: $$\frac{4\sin^3 x - 2\sin x}{-2\sin x \cos x} = 1$$ Область допустимых значений (ОДЗ): $$\sin(2x - \pi) \neq 0 \implies -2\sin x \cos x \neq 0$$ Это означает, что $$\sin x \neq 0$$ и $$\cos x \neq 0$$. Следовательно, $$x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$. Вынесем $2\sin x$ из числителя: $$\frac{2\sin x (2\sin^2 x - 1)}{-2\sin x \cos x} = 1$$ Так как $\sin x \neq 0$, можем сократить на $2\sin x$: $$\frac{2\sin^2 x - 1}{-\cos x} = 1$$ Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x = -(2\sin^2 x - 1)$$. Тогда: $$\frac{-\cos(2x)}{-\cos x} = 1$$ $$\frac{\cos(2x)}{\cos x} = 1$$ $$\cos(2x) = \cos x$$ Перенесем все в одну сторону: $$\cos(2x) - \cos x = 0$$ Применим формулу разности косинусов: $$\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$ $$-2\sin\left(\frac{2x+x}{2}\right)\sin\left(\frac{2x-x}{2}\right) = 0$$ $$-2\sin\left(\frac{3x}{2}\right)\sin\left(\frac{x}{2}\right) = 0$$ Это равенство выполняется, если: 1) $$\sin\left(\frac{3x}{2}\right) = 0$$ $$\frac{3x}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \frac{2\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$ 2) $$\sin\left(\frac{x}{2} ight) = 0$$ $$\frac{x}{2} = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$ $$x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$ Теперь нужно учесть ОДЗ: $$x \neq \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$$. Проверим корни, полученные из $$x = 2\pi m$$: Если $m=0$, $x=0$. $\sin(0)=0$, что не удовлетворяет ОДЗ. Значит, $x = 2\pi m$ не являются решениями. Проверим корни, полученные из $$x = \frac{2\pi n}{3}$$: Если $n=0$, $x=0$, не удовлетворяет ОДЗ. Если $n=1$, $x=\frac{2\pi}{3}$. $\sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \neq 0$. Подходит. Если $n=2$, $x=\frac{4\pi}{3}$. $\sin(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, $\cos(\frac{4\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \neq 0$. Подходит. Если $n=3$, $x=2\pi$. $\sin(2\pi)=0$, не удовлетворяет ОДЗ. Если $n=4$, $x=\frac{8\pi}{3}$. $\sin(\frac{8\pi}{3}) = \sin(\frac{2\pi}{3}+2\pi) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \neq 0$, $\cos(\frac{8\pi}{3}) = \cos(\frac{2\pi}{3}+2\pi) = \cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2} \neq 0$. Подходит. Таким образом, корни вида $x = \frac{2\pi n}{3}$ подходят, если $n$ не кратно 3. То есть, $n \neq 3k, k \in \mathbb{Z}$. **Ответ:** $$x = \frac{2\pi n}{3}$$, где $$n \in \mathbb{Z}$$, $$n$$ не кратно 3. б) Найдем все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$\left[-3\pi; -\frac{\pi}{2}\right]$$. Нам нужно найти такие $n$ (не кратные 3), для которых $$-3\pi \le \frac{2\pi n}{3} \le -\frac{\pi}{2}$$ Разделим все части неравенства на $\pi$: $$-3 \le \frac{2n}{3} \le -\frac{1}{2}$$ Умножим все части неравенства на 3: $$-9 \le 2n \le -\frac{3}{2}$$ Разделим все части неравенства на 2: $$-4.5 \le n \le -0.75$$ Целые значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n = -4, -3, -2, -1$. Теперь проверим условие, что $n$ не кратно 3. Для $n=-4$: не кратно 3. Подходит. $x = \frac{2\pi(-4)}{3} = -\frac{8\pi}{3}$. Для $n=-3$: кратно 3. Не подходит по ОДЗ ($\sin(2x - \pi)=0$). Для $n=-2$: не кратно 3. Подходит. $x = \frac{2\pi(-2)}{3} = -\frac{4\pi}{3}$. Для $n=-1$: не кратно 3. Подходит. $x = \frac{2\pi(-1)}{3} = -\frac{2\pi}{3}$. **Ответ:** $$-\frac{8\pi}{3}, -\frac{4\pi}{3}, -\frac{2\pi}{3}$$