Решите уравнение $\sqrt{4\cos 2x - 2\sin 2x} = 2\cos x$

а) Решим уравнение $\sqrt{4\cos 2x - 2\sin 2x} = 2\cos x$. Сначала найдём область допустимых значений (ОДЗ): 1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $4\cos 2x - 2\sin 2x \ge 0$. 2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной: $2\cos x \ge 0$, то есть $\cos x \ge 0$. Возведём обе части уравнения в квадрат: $4\cos 2x - 2\sin 2x = (2\cos x)^2$ $4\cos 2x - 2\sin 2x = 4\cos^2 x$ Используем формулы двойного угла: $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ и $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. $4(2\cos^2 x - 1) - 2(2\sin x \cos x) = 4\cos^2 x$ $8\cos^2 x - 4 - 4\sin x \cos x = 4\cos^2 x$ Перенесём все слагаемые в левую часть и упростим: $8\cos^2 x - 4\cos^2 x - 4\sin x \cos x - 4 = 0$ $4\cos^2 x - 4\sin x \cos x - 4 = 0$ Разделим всё на 4: $\cos^2 x - \sin x \cos x - 1 = 0$ Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Тогда $-1 = -(\sin^2 x + \cos^2 x)$. $\cos^2 x - \sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0$ $\cos^2 x - \sin x \cos x - \sin^2 x - \cos^2 x = 0$ $-\sin x \cos x - \sin^2 x = 0$ Вынесем $-\sin x$ за скобки: $-\sin x (\cos x + \sin x) = 0$ Получаем два случая: 1. $-\sin x = 0 \implies \sin x = 0$ $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ 2. $\cos x + \sin x = 0$ Разделим на $\cos x$ (при условии $\cos x \ne 0$, если $\cos x = 0$, то $\sin x = \pm 1$, тогда $\sin x + \cos x = \pm 1 \ne 0$, значит $\cos x \ne 0$): $1 + \tan x = 0$ $\tan x = -1$ $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ Теперь учтём ОДЗ: $\cos x \ge 0$. Для $x = \pi k$: Если $k$ чётное, например $k=2m$, то $x = 2\pi m$, $\cos(2\pi m) = 1 \ge 0$. Эти корни подходят. Если $k$ нечётное, например $k=2m+1$, то $x = \pi(2m+1) = \pi + 2\pi m$, $\cos(\pi + 2\pi m) = -1 < 0$. Эти корни не подходят. Значит, из $x = \pi k$ подходят только $x = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Для $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$: Если $n$ чётное, например $n=2m$, то $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$. В этом случае $\cos(- \frac{\pi}{4} + 2\pi m) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \ge 0$. Эти корни подходят. Если $n$ нечётное, например $n=2m+1$, то $x = -\frac{\pi}{4} + \pi(2m+1) = -\frac{\pi}{4} + \pi + 2\pi m = \frac{3\pi}{4} + 2\pi m$. В этом случае $\cos(\frac{3\pi}{4} + 2\pi m) = \cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} < 0$. Эти корни не подходят. Значит, из $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ подходят только $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Итак, решения уравнения: $x = 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$ Проверим теперь условие $4\cos 2x - 2\sin 2x \ge 0$. Из уравнения мы получили $4\cos 2x - 2\sin 2x = 4\cos^2 x$. Так как $4\cos^2 x \ge 0$ всегда, то условие подкоренного выражения автоматически выполняется для тех корней, для которых $\cos x \ge 0$. **Ответ:** **а) $x = 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$; $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$, $m \in \mathbb{Z}$** б) Укажем корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\frac{5\pi}{2}; 0\right]$. Рассмотрим $x = 2\pi m$: $-\frac{5\pi}{2} \le 2\pi m \le 0$ Разделим все части на $2\pi$: $-\frac{5}{4} \le m \le 0$ $-1.25 \le m \le 0$ Целые значения $m$: $-1, 0$. При $m = -1$, $x = 2\pi(-1) = -2\pi$. При $m = 0$, $x = 2\pi(0) = 0$. Рассмотрим $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m$: $-\frac{5\pi}{2} \le -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \le 0$ Прибавим $\frac{\pi}{4}$ ко всем частям: $-\frac{5\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \le 2\pi m \le 0 + \frac{\pi}{4}$ $-\frac{10\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \le 2\pi m \le \frac{\pi}{4}$ $-\frac{9\pi}{4} \le 2\pi m \le \frac{\pi}{4}$ Разделим все части на $2\pi$: $-\frac{9}{8} \le m \le \frac{1}{8}$ $-1.125 \le m \le 0.125$ Целые значения $m$: $-1, 0$. При $m = -1$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{4} - 2\pi = -\frac{\pi}{4} - \frac{8\pi}{4} = -\frac{9\pi}{4}$. При $m = 0$, $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi(0) = -\frac{\pi}{4}$. Соберём все корни, принадлежащие отрезку: $-2\pi$, $0$, $-\frac{9\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{4}$. **Ответ:** **б) $-2\pi$, $-\frac{9\pi}{4}$, $-\frac{\pi}{4}$, $0$**