На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 66°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найди угол ABC.

1. На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна $66^\circ$. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах. Угол между касательной (BC) и хордой (AB), проведенной через точку касания (B), равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними. Дуга AB равна $66^\circ$. $$ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга AB} = \frac{1}{2} \cdot 66^\circ = 33^\circ $$ **Ответ:** $33$ 2. Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём AB = 5, AC = 20. Найдите AK. По теореме о касательной и секущей, квадрат длины отрезка касательной (AK) равен произведению отрезка секущей от внешней точки до первой точки пересечения с окружностью (AB) на весь отрезок секущей от внешней точки до второй точки пересечения (AC). $$ AK^2 = AB \cdot AC $$ $$ AK^2 = 5 \cdot 20 $$ $$ AK^2 = 100 $$ $$ AK = \sqrt{100} $$ $$ AK = 10 $$ **Ответ:** $10$ 3. Хорды AC и BD окружности пересекаются в точке K, BK = 4, CK = 12, DK = 21. Найдите AK. При пересечении двух хорд в окружности произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. $$ AK \cdot CK = BK \cdot DK $$ $$ AK \cdot 12 = 4 \cdot 21 $$ $$ AK \cdot 12 = 84 $$ $$ AK = \frac{84}{12} $$ $$ AK = 7 $$ **Ответ:** $7$ 4. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен $60^\circ$, а радиус окружности равен 10. Допустим, точки касания — P и Q. Тогда треугольник AOP и AOQ — прямоугольные (радиус перпендикулярен касательной). Угол между касательными $\angle PAQ = 60^\circ$. AO — биссектриса этого угла, значит $\angle PAO = 60^\circ / 2 = 30^\circ$. В прямоугольном треугольнике AOP имеем: $$ \sin(\angle PAO) = \frac{OP}{AO} $$ $$ \sin(30^\circ) = \frac{10}{AO} $$ $$ \frac{1}{2} = \frac{10}{AO} $$ $$ AO = 10 \cdot 2 $$ $$ AO = 20 $$ **Ответ:** $20$ 5. Заполните пропуски в решении задачи: Условие: Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 9, AC = 12. Решение: Обозначим пересечение стороны AC с окружностью точкой K. Пусть радиус окружности равен R, то есть $KO = OC = R$. Тогда $AK = AC - KC$. Так как $KC = 2R$ (поскольку C — вершина, а K — точка пересечения, и O — центр на AC, проходящей через C, то KC — это диаметр), то $AK = AC - 2R$. По теореме о касательной и секущей: $$ AB^2 = AK \cdot AC $$ Подставляем значения: $$ 9^2 = (AC - 2R) \cdot AC $$ $$ 81 = (12 - 2R) \cdot 12 $$ $$ 81 = 144 - 24R $$ $$ 24R = 144 - 81 $$ $$ 24R = 63 $$ $$ R = \frac{63}{24} = \frac{21}{8} $$ Выражая диаметр получаем, что $2R = 2 \cdot \frac{21}{8} = \frac{21}{4} = 5.25$ **Ответ:** $5.25$