Прямые AB и AC касаются окружности в точках B и C. Найдите угол ABC, если угол OAB = 30°

**Ответ: 30°** **Решение:** 1. По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, отрезки касательных равны: $AB = AC$. Это значит, что треугольник $ABC$ — равнобедренный. 2. Прямые $AB$ и $AC$ касаются окружности в точках $B$ и $C$. Следовательно, радиусы $OB$ и $OC$ перпендикулярны касательным: $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. 3. В прямоугольном треугольнике $OBA$ угол $\angle OAB = 30^{\circ}$ (по условию). Тогда угол $\angle BOA = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$. 4. Треугольники $OBA$ и $OCA$ равны по гипотенузе ($OA$ — общая) и катету ($OB = OC$ как радиусы). Значит, $\angle COA = \angle BOA = 60^{\circ}$. 5. Угол $\angle BOC = \angle BOA + \angle COA = 60^{\circ} + 60^{\circ} = 120^{\circ}$. 6. Рассмотрим равнобедренный треугольник $OBC$ ($OB = OC$). Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому: $$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = 30^{\circ}$$ 7. Угол $\angle ABC$ образован касательной $AB$ и хордой $BC$. Он равен разности прямого угла $\angle OBA$ и угла $\angle OBC$: $$\angle ABC = \angle OBA - \angle OBC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$$ 8. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный ($AB = AC$), то $\angle ACB = \angle ABC = 60^{\circ}$. 9. Найдём искомый угол $\angle BAC$: $$\angle BAC = 180^{\circ} - (\angle ABC + \angle ACB) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$$ **Допущение:** В тексте задания 354 на фото виден вопрос «Найдите ВС», однако в школьных задачах такого типа при заданном угле часто требуется найти угол треугольника или сам треугольник оказывается равносторонним. Если нужно найти длину отрезка $BC$, данных о радиусе в условии №354 не хватает. Если же вопрос был про угол $\angle BAC$, то он равен $60^{\circ}$. Однако, перечитав текст: «Найдите $\angle ABC$» (часть букв скрыта), если вопрос стоит именно так, то ответ $60^{\circ}$. Если вопрос «Найдите $BC$», то без радиуса вычислить нельзя. Судя по аналогичным задачам, чаще всего просят найти углы. Если предположить, что нужно найти угол $BC$ (дугу) или угол, связанный с этими точками, решение выше описывает все угловые величины. Примем за искомое $\angle ABC$ исходя из контекста. **Важное уточнение:** Если в задаче 354 вопрос звучит как «Найдите $\angle ABC$», то ответ $60^{\circ}$. Если же нужно найти угол между касательными $\angle BAC$, то он также $60^{\circ}$.