Найдите угол ACB, если угол AOB равен 113°. Ответ дайте в градусах.

1. Угол $AOB$ — центральный, он опирается на дугу $AB$. Угол $ACB$ — вписанный, он опирается на ту же дугу $AB$. Так как они опираются на одну и ту же дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла. $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB $$ $$ \angle ACB = \frac{1}{2} \cdot 113^\circ $$ $$ \angle ACB = 56.5^\circ $$ **Ответ:** $56.5^\circ$ 2. $AC$ и $BD$ — диаметры, значит они проходят через центр окружности $O$. Угол $ACB$ — это вписанный угол, который опирается на дугу $AB$. Дуга $AB$ равна $2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ$. Угол $AOB$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AB$. Поэтому $\angle AOB = 108^\circ$. Углы $AOB$ и $COD$ являются вертикальными, поэтому $\angle COD = \angle AOB = 108^\circ$. Углы $AOD$ и $BOC$ также являются вертикальными. Сумма всех углов вокруг центра $O$ равна $360^\circ$. $$ \angle AOD + \angle BOC + \angle AOB + \angle COD = 360^\circ $$ $$ 2 \angle AOD + 2 \cdot 108^\circ = 360^\circ $$ $$ 2 \angle AOD = 360^\circ - 216^\circ $$ $$ 2 \angle AOD = 144^\circ $$ $$ \angle AOD = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ $$ **Ответ:** $72^\circ$ 3. В треугольнике $OAB$: $OA = OB$ как радиусы окружности, значит треугольник $OAB$ равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB = 48^\circ$. Сумма углов в треугольнике $OAB$ равна $180^\circ$: $\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (48^\circ + 48^\circ) = 180^\circ - 96^\circ = 84^\circ$. В треугольнике $OBC$: $OB = OC$ как радиусы окружности, значит треугольник $OBC$ равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle OCB = \angle OBC$. Мы знаем, что $\angle ABC = 69^\circ$. $\angle ABC$ состоит из углов $\angle OBA$ и $\angle OBC$. $$ \angle ABC = \angle OBA + \angle OBC $$ $$ 69^\circ = 48^\circ + \angle OBC $$ $$ \angle OBC = 69^\circ - 48^\circ = 21^\circ $$ Тогда $\angle BCO = \angle OBC = 21^\circ$. **Ответ:** $21^\circ$ 4. Вписанный четырёхугольник $ABCD$. Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна $180^\circ$. $\angle ABC = 70^\circ$. Мы знаем, что $\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC$. Рассмотрим углы, опирающиеся на одну дугу. Угол $\angle CAD$ опирается на дугу $CD$. Угол $\angle CBD$ также опирается на дугу $CD$. Значит, $\angle CBD = \angle CAD = 49^\circ$. Теперь мы можем найти $\angle ABD$: $$ \angle ABC = \angle ABD + \angle CBD $$ $$ 70^\circ = \angle ABD + 49^\circ $$ $$ \angle ABD = 70^\circ - 49^\circ = 21^\circ $$ **Ответ:** $21^\circ$ 5. Поскольку центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, лежит на стороне $AB$, это означает, что $AB$ является диаметром описанной окружности. Угол, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$, поэтому $\angle ACB = 90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Радиус окружности равен $15$, значит диаметр $AB = 2 \cdot 15 = 30$. Нам известна сторона $AC = 24$. Мы можем найти сторону $BC$ по теореме Пифагора: $$ AC^2 + BC^2 = AB^2 $$ $$ 24^2 + BC^2 = 30^2 $$ $$ 576 + BC^2 = 900 $$ $$ BC^2 = 900 - 576 $$ $$ BC^2 = 324 $$ $$ BC = \sqrt{324} $$ $$ BC = 18 $$ **Ответ:** $18$ 6. Так как окружность вписана в угол $C$ и касается сторон угла в точках $A$ и $B$, то отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны: $CA = CB$. Центр окружности $O$ находится на биссектрисе угла $C$, а также $OA \perp CA$ и $OB \perp CB$ (радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным). Рассмотрим четырёхугольник $CAOB$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$. У нас есть: $\angle C = 107^\circ$ $\angle CAO = 90^\circ$ (радиус к точке касания) $\angle CBO = 90^\circ$ (радиус к точке касания) Тогда $\angle AOB = 360^\circ - (\angle C + \angle CAO + \angle CBO) = 360^\circ - (107^\circ + 90^\circ + 90^\circ)$. $$ \angle AOB = 360^\circ - 287^\circ $$ $$ \angle AOB = 73^\circ $$ **Ответ:** $73^\circ$ 7. По свойству пересекающихся хорд в окружности, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Для хорд $AC$ и $BD$, пересекающихся в точке $P$, имеем: $$ AP \cdot PC = BP \cdot PD $$ Нам даны $BP = 15$, $CP = 6$, $DP = 10$. Нужно найти $AP$. $$ AP \cdot 6 = 15 \cdot 10 $$ $$ 6 AP = 150 $$ $$ AP = \frac{150}{6} $$ $$ AP = 25 $$ **Ответ:** $25$