1) В угол С величиной 61 градус вписана окружность, которая касается сторон угла в точках А и В, точка О - центр окружности. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

**Ответ: 1) 119°; 3) 57,5°; 5) 29°; 7) 56°; 9) 21; 11) 9.** Вот решения для задач из списка: 1) Радиусы $OA$ и $OB$ перпендикулярны сторонам угла в точках касания, значит $\angle OAC = \angle OBC = 90^{\circ}$. Сумма углов в четырёхугольнике $OACB$ равна $360^{\circ}$. $\angle AOB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$. 3) Угол $ACB$ является вписанным, а угол $AOB$ — центральным, и они опираются на одну и ту же дугу $AB$. По теореме о вписанном угле: $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{115^{\circ}}{2} = 57,5^{\circ}$. 5) Углы $AOD$ и $BOC$ вертикальные, поэтому $\angle BOC = \angle AOD = 122^{\circ}$. Рассмотрим $\triangle BOC$: $OB = OC$ (как радиусы), значит треугольник равнобедренный. Углы при основании равны: $\angle ACB = (180^{\circ} - 122^{\circ}) : 2 = 58^{\circ} : 2 = 29^{\circ}$. 7) Угол $AMB$ опирается на диаметр $AB$, значит он прямой: $\angle AMB = 90^{\circ}$. В прямоугольном $\triangle AMB$ сумма острых углов равна $90^{\circ}$: $\angle MAB = 90^{\circ} - \angle MBA$ (но нам дан $\angle NBA$, который и есть $\angle MBA$, так как $N$ лежит на окружности). **Допущение:** судя по чертежу и тексту, точки $N$ и $M$ образуют вписанные углы. $\angle NMB$ опирается на ту же дугу $NB$, что и угол $\angle NAB$. Однако проще заметить, что $\angle ANB = 90^{\circ}$ (опирается на диаметр). В $\triangle NMB$ угол $\angle NMB = 90^{\circ} - \angle NBA = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$ (так как $\triangle ANB$ и свойства вписанных углов). 9) Если центр описанной окружности лежит на стороне $AB$, то эта сторона является диаметром ($d = 2R$). Треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB = 2 \cdot 17,5 = 35$. По теореме Пифагора: $BC^2 = AB^2 - AC^2 = 35^2 - 28^2 = 1225 - 784 = 441$. $BC = \sqrt{441} = 21$. 11) Радиус $R$ описанной окружности около равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$: $R = \frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 9$.