291. Найдите корни уравнения:
a) $$ \frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3} $$
Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю:
$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$
$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$
$x^2+2x-3 \neq 0$
Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$.
Значит, $x^2+2x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -3$.
ОДЗ: $x \neq 1$ и $x \neq -3$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$:
$$ \frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{(2x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} $$
Теперь, когда знаменатели одинаковые и не равны нулю (из ОДЗ), можем приравнять числители:
$$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$
Раскроем скобки:
$$(3x^2+9x-2x-6) - (2x^2-2x+3x-3) = 12x+4$$
$$3x^2+7x-6 - (2x^2+x-3) = 12x+4$$
$$3x^2+7x-6 - 2x^2-x+3 = 12x+4$$
Приведем подобные слагаемые:
$$x^2+6x-3 = 12x+4$$
Перенесем все в левую часть:
$$x^2+6x-12x-3-4 = 0$$
$$x^2-6x-7 = 0$$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$
$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$
$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6+8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$
$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6-8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$
Оба корня $x_1=7$ и $x_2=-1$ не совпадают с исключенными значениями из ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -3$).
**Ответ:** $x_1=7, x_2=-1$
б) $$ \frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0 $$
ОДЗ:
$x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$
$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$
$x^2+4x-21 \neq 0$
Разложим $x^2+4x-21$ на множители. Корни уравнения $x^2+4x-21=0$: $D = 4^2 - 4(1)(-21) = 16+84 = 100$. $x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$. $x_1 = \frac{-4+10}{2} = 3$, $x_2 = \frac{-4-10}{2} = -7$. Значит, $x^2+4x-21 = (x-3)(x+7)$.
ОДЗ: $x \neq -7$ и $x \neq 3$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+7)(x-3)$:
$$ \frac{(5x-1)(x-3)}{(x+7)(x-3)} - \frac{(2x+2)(x+7)}{(x-3)(x+7)} + \frac{63}{(x-3)(x+7)} = 0 $$
Приравняем числители:
$$(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0$$
Раскроем скобки:
$$(5x^2-15x-x+3) - (2x^2+14x+2x+14) + 63 = 0$$
$$5x^2-16x+3 - (2x^2+16x+14) + 63 = 0$$
$$5x^2-16x+3 - 2x^2-16x-14 + 63 = 0$$
Приведем подобные слагаемые:
$$3x^2-32x+52 = 0$$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$$D = (-32)^2 - 4(3)(52) = 1024 - 624 = 400$$
$$x = \frac{-(-32) \pm \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32 \pm 20}{6}$$
$$x_1 = \frac{32+20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} = 8\frac{2}{3}$$
$$x_2 = \frac{32-20}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
Оба корня $x_1 = 8\frac{2}{3}$ и $x_2=2$ не совпадают с исключенными значениями из ОДЗ ($x \neq -7, x \neq 3$).
**Ответ:** $x_1 = 8\frac{2}{3}, x_2 = 2$
в) $$ \frac{x}{x^2+4x+4} = \frac{4}{x^2-4} - \frac{16}{x^3+2x^2-4x-8} $$
Разложим знаменатели на множители:
$x^2+4x+4 = (x+2)^2$
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$
$x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2)-4(x+2) = (x^2-4)(x+2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2$
Перепишем уравнение с разложенными знаменателями:
$$ \frac{x}{(x+2)^2} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} - \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} $$
ОДЗ:
$(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$
$(x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -2$
$(x-2)(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -2$
ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Общий знаменатель будет $(x-2)(x+2)^2$.
Перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$$ \frac{x(x-2)}{(x+2)^2(x-2)} - \frac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+2)} + \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} = 0 $$
$$ \frac{x(x-2) - 4(x+2) + 16}{(x-2)(x+2)^2} = 0 $$
Приравняем числитель к нулю (знаменатель не равен нулю по ОДЗ):
$$x(x-2) - 4(x+2) + 16 = 0$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2x - 4x-8 + 16 = 0$$
$$x^2-6x+8 = 0$$
Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта:
$$D = (-6)^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4$$
$$x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{6 \pm 2}{2}$$
$$x_1 = \frac{6+2}{2} = \frac{8}{2} = 4$$
$$x_2 = \frac{6-2}{2} = \frac{4}{2} = 2$$
Проверим корни по ОДЗ: $x \neq -2$ и $x \neq 2$.
Корень $x_1=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как $x \neq 2$. Поэтому $x_2=2$ является посторонним корнем.
**Ответ:** $x=4$
