Найди корни уравнения.

а) Найдём корни уравнения: $$\frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{x^2 + 2x - 3}$$ Замечаем, что $x^2 + 2x - 3 = (x-1)(x+3)$. Тогда уравнение можно переписать так: $$\frac{3x - 2}{x - 1} - \frac{2x + 3}{x + 3} = \frac{12x + 4}{(x - 1)(x + 3)}$$ Найдём общий знаменатель: $(x-1)(x+3)$. Дополнительные множители: Для $\frac{3x - 2}{x - 1}$ это $(x+3)$. Для $\frac{2x + 3}{x + 3}$ это $(x-1)$. Учитываем, что $x \ne 1$ и $x \ne -3$. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1)}{(x - 1)(x + 3)} = \frac{12x + 4}{(x - 1)(x + 3)}$$ Приравниваем числители: $$(3x - 2)(x + 3) - (2x + 3)(x - 1) = 12x + 4$$ Раскрываем скобки: $$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x + 4$$ $$(3x^2 + 7x - 6) - (2x^2 + x - 3) = 12x + 4$$ Раскрываем скобки, меняя знаки: $$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x + 4$$ Приводим подобные члены в левой части: $$x^2 + 6x - 3 = 12x + 4$$ Переносим все члены в левую часть: $$x^2 + 6x - 3 - 12x - 4 = 0$$ $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ Это квадратное уравнение. Найдём корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям $x \ne 1$ и $x \ne -3$. Оба корня $x_1=7$ и $x_2=-1$ удовлетворяют этим условиям. **Ответ:** $x_1 = 7$, $x_2 = -1$ б) Найдём корни уравнения: $$\frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{x^2 + 4x - 21} = 0$$ Разложим знаменатель $x^2 + 4x - 21$ на множители. Корни квадратного уравнения $x^2 + 4x - 21 = 0$ можно найти по формуле: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(-21)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 84}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2} = \frac{-4 \pm 10}{2}$$ $$x_1 = \frac{-4 + 10}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{-4 - 10}{2} = \frac{-14}{2} = -7$$ Значит, $x^2 + 4x - 21 = (x - 3)(x + 7)$. Уравнение принимает вид: $$\frac{5x - 1}{x + 7} - \frac{2x + 2}{x - 3} + \frac{63}{(x - 3)(x + 7)} = 0$$ Найдём общий знаменатель: $(x+7)(x-3)$. Учитываем, что $x \ne -7$ и $x \ne 3$. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63}{(x + 7)(x - 3)} = 0$$ Приравниваем числитель к нулю: $$(5x - 1)(x - 3) - (2x + 2)(x + 7) + 63 = 0$$ Раскрываем скобки: $$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$$ $$(5x^2 - 16x + 3) - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$$ Раскрываем скобки, меняя знаки: $$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$$ Приводим подобные члены: $$3x^2 - 32x + 52 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-32)^2 - 4(3)(52) = 1024 - 624 = 400$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{32 + \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32 + 20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$ $$x_2 = \frac{32 - \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32 - 20}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям $x \ne -7$ и $x \ne 3$. Оба корня $x_1=\frac{26}{3}$ и $x_2=2$ удовлетворяют этим условиям. **Ответ:** $x_1 = \frac{26}{3}$, $x_2 = 2$ в) Найдём корни уравнения: $$\frac{x}{x^2 + 4x + 4} - \frac{4}{x^2 - 4} = \frac{16}{x^3 + 2x^2 - 4x - 8}$$ Разложим знаменатели на множители: 1. $x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2$ 2. $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$ 3. $x^3 + 2x^2 - 4x - 8 = x^2(x + 2) - 4(x + 2) = (x^2 - 4)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)(x + 2) = (x - 2)(x + 2)^2$ Уравнение принимает вид: $$\frac{x}{(x + 2)^2} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{16}{(x - 2)(x + 2)^2}$$ Найдём общий знаменатель: $(x - 2)(x + 2)^2$. Учитываем, что $x \ne -2$ и $x \ne 2$. Приводим к общему знаменателю: $$\frac{x(x - 2) - 4(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)^2} = \frac{16}{(x - 2)(x + 2)^2}$$ Приравниваем числители: $$x(x - 2) - 4(x + 2) = 16$$ Раскрываем скобки: $$x^2 - 2x - 4x - 8 = 16$$ $$x^2 - 6x - 8 = 16$$ Переносим 16 в левую часть: $$x^2 - 6x - 8 - 16 = 0$$ $$x^2 - 6x - 24 = 0$$ Найдём корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$D = (-6)^2 - 4(1)(-24) = 36 + 96 = 132$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{6 + \sqrt{132}}{2} = \frac{6 + \sqrt{4 \cdot 33}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{33}}{2} = 3 + \sqrt{33}$$ $$x_2 = \frac{6 - \sqrt{132}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{33}}{2} = 3 - \sqrt{33}$$ Проверим, удовлетворяют ли найденные корни условиям $x \ne -2$ и $x \ne 2$. Оба корня $x_1 = 3 + \sqrt{33}$ и $x_2 = 3 - \sqrt{33}$ удовлетворяют этим условиям, так как $\sqrt{33}$ не равен 1 или 5. **Ответ:** $x_1 = 3 + \sqrt{33}$, $x_2 = 3 - \sqrt{33}$