Найди корни уравнения \(\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}\)

а) Найти корни уравнения: $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$ 1. Разложим знаменатель правой части на множители: $$x^2+2x-3 = (x+3)(x-1)$$ 2. Уравнение примет вид: $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}$$ 3. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ $$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$ 4. Приведём левую часть к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $$\frac{(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1)}{(x-1)(x+3)} = \frac{12x+4}{(x+3)(x-1)}$$ 5. Поскольку знаменатели равны и не равны нулю, приравняем числители: $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ 6. Раскроем скобки: $$(3x^2 + 9x - 2x - 6) - (2x^2 - 2x + 3x - 3) = 12x+4$$ $$3x^2 + 7x - 6 - (2x^2 + x - 3) = 12x+4$$ $$3x^2 + 7x - 6 - 2x^2 - x + 3 = 12x+4$$ 7. Приведём подобные слагаемые: $$x^2 + 6x - 3 = 12x+4$$ 8. Перенесём все члены в левую часть и приравняем к нулю: $$x^2 + 6x - 12x - 3 - 4 = 0$$ $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ 9. Решим квадратное уравнение. Можно использовать формулу корней квадратного уравнения или теорему Виета. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 \cdot x_2 = -7$. Подходящие корни: $x_1 = 7$, $x_2 = -1$. 10. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня $x=7$ и $x=-1$ не равны $1$ и $-3$. **Ответ:** $x_1 = 7, x_2 = -1$ б) Найти корни уравнения: $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0$$ 1. Разложим знаменатель третьей дроби на множители: $$x^2+4x-21 = (x+7)(x-3)$$ 2. Уравнение примет вид: $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ 3. Определим ОДЗ: $$x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$$ $$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$$ 4. Приведём все дроби к общему знаменателю $(x+7)(x-3)$: $$\frac{(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ 5. Приравняем числитель к нулю: $$(5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0$$ 6. Раскроем скобки: $$(5x^2 - 15x - x + 3) - (2x^2 + 14x + 2x + 14) + 63 = 0$$ $$5x^2 - 16x + 3 - (2x^2 + 16x + 14) + 63 = 0$$ $$5x^2 - 16x + 3 - 2x^2 - 16x - 14 + 63 = 0$$ 7. Приведём подобные слагаемые: $$3x^2 - 32x + 52 = 0$$ 8. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 52 = 1024 - 624 = 400$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{32 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}$$ $$x_2 = \frac{32 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$$ 9. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня $x=26/3$ и $x=2$ не равны $-7$ и $3$. **Ответ:** $x_1 = \frac{26}{3}, x_2 = 2$ в) Найти корни уравнения: $$\frac{x}{x^2+4x+4} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{16}{x^3+2x^2-4x-8}$$ 1. Разложим знаменатели на множители: $$x^2+4x+4 = (x+2)^2$$ $$x^2-4 = (x-2)(x+2)$$ $$x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2) - 4(x+2) = (x^2-4)(x+2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2$$ 2. Уравнение примет вид: $$\frac{x}{(x+2)^2} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{16}{(x-2)(x+2)^2}$$ 3. Определим ОДЗ: $$x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$ $$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$$ 4. Приведём все дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)^2$: $$\frac{x(x-2) - 4(x+2)}{(x-2)(x+2)^2} = \frac{16}{(x-2)(x+2)^2}$$ 5. Приравняем числители: $$x(x-2) - 4(x+2) = 16$$ 6. Раскроем скобки: $$x^2 - 2x - 4x - 8 = 16$$ 7. Приведём подобные слагаемые: $$x^2 - 6x - 8 = 16$$ 8. Перенесём 16 в левую часть: $$x^2 - 6x - 8 - 16 = 0$$ $$x^2 - 6x - 24 = 0$$ 9. Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 36 + 96 = 132$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{132} = \sqrt{4 \cdot 33} = 2\sqrt{33}$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{6 + 2\sqrt{33}}{2} = 3 + \sqrt{33}$$ $$x_2 = \frac{6 - 2\sqrt{33}}{2} = 3 - \sqrt{33}$$ 10. Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ. Оба корня $3+\sqrt{33}$ и $3-\sqrt{33}$ не равны $2$ и $-2$. **Ответ:** $x_1 = 3 + \sqrt{33}, x_2 = 3 - \sqrt{33}$