Найдите корни уравнения: а) $\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$

а) Для решения уравнения $$\frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3}$$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $$x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$$ $$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$$ $$x^2+2x-3 \neq 0$$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Значит, $$(x-1)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1, x \neq -3$$ Теперь приведем все дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $$\frac{(3x-2)(x+3)}{(x-1)(x+3)} - \frac{(2x+3)(x-1)}{(x+3)(x-1)} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые, можем приравнять числители: $$(3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4$$ Раскроем скобки: $$(3x^2+9x-2x-6) - (2x^2-2x+3x-3) = 12x+4$$ $$(3x^2+7x-6) - (2x^2+x-3) = 12x+4$$ $$3x^2+7x-6 - 2x^2-x+3 = 12x+4$$ Приведем подобные слагаемые: $$x^2+6x-3 = 12x+4$$ Перенесем все члены в левую часть: $$x^2+6x-3-12x-4=0$$ $$x^2-6x-7=0$$ Теперь решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-7) = 36 + 28 = 64$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2(1)} = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ Оба корня $x=7$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 1, x \neq -3$). **Ответ:** $x_1 = 7, x_2 = -1$ б) Для решения уравнения $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{x-3}{2x+2} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0$$ сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю: $$x+7 \neq 0 \Rightarrow x \neq -7$$ $$2x+2 \neq 0 \Rightarrow 2(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$$ $$x^2+4x-21 \neq 0$$ Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2+4x-21 = (x+7)(x-3)$. Значит, $$(x+7)(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq -7, x \neq 3$$ Общий знаменатель для дробей будет $2(x+7)(x-3)(x+1)$. Приведем все дроби к общему знаменателю. Для этого преобразуем уравнение, чтобы не работать с таким большим знаменателем, заметим, что $x^2+4x-21 = (x+7)(x-3)$. Уравнение будет выглядеть так: $$\frac{5x-1}{x+7} - \frac{x-3}{2(x+1)} + \frac{63}{(x+7)(x-3)} = 0$$ Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+7)(x-3)(x+1)$: $$ \frac{(5x-1) \cdot 2(x-3)(x+1)}{2(x+7)(x-3)(x+1)} - \frac{(x-3) \cdot (x+7)(x+1)}{2(x+1)(x+7)(x-3)} + \frac{63 \cdot 2(x+1)}{2(x+7)(x-3)(x+1)} = 0$$ Так как знаменатель не равен нулю, приравняем числитель к нулю: $$(5x-1) \cdot 2(x-3)(x+1) - (x-3)(x+7)(x+1) + 63 \cdot 2(x+1) = 0$$ Заметим, что $(x+1)$ является общим множителем, вынесем его за скобки: $$(x+1) \left[ 2(5x-1)(x-3) - (x-3)(x+7) + 126 \right] = 0$$ Одно из решений, это когда $x+1=0$, то есть $x=-1$. Этот корень исключается ОДЗ. Значит, нужно решить уравнение в квадратных скобках: $$2(5x^2 - 15x - x + 3) - (x^2 + 7x - 3x - 21) + 126 = 0$$ $$2(5x^2 - 16x + 3) - (x^2 + 4x - 21) + 126 = 0$$ $$10x^2 - 32x + 6 - x^2 - 4x + 21 + 126 = 0$$ Приведем подобные слагаемые: $$(10x^2 - x^2) + (-32x - 4x) + (6 + 21 + 126) = 0$$ $$9x^2 - 36x + 153 = 0$$ Разделим все на 9: $$x^2 - 4x + 17 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(1)(17) = 16 - 68 = -52$$ Так как $D < 0$, это квадратное уравнение не имеет действительных корней. Значит, у данного уравнения нет действительных корней. **Ответ: Корней нет** в) Допущение: я решаю только те части задания, которые вижу на изображении. Часть В) выглядит обрезанной, поэтому я решу только то, что видно. Уравнение, которое видно: $$\frac{x}{x^2+4x+4} - \frac{4}{x^2-4} - \frac{16}{x^3+2x^2-4x-8} = 0$$ Найдем ОДЗ. Знаменатели не должны быть равны нулю: $$x^2+4x+4 = (x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2$$ $$x^2-4 = (x-2)(x+2) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -2$$ $$x^3+2x^2-4x-8$$ Разложим на множители: $x^2(x+2) - 4(x+2) = (x^2-4)(x+2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2, x \neq -2$$ Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)^2$. Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{x(x-2)}{(x+2)^2(x-2)} - \frac{4(x+2)}{(x-2)(x+2)(x+2)} - \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} = 0$$ Приравняем числитель к нулю (помня про ОДЗ): $$x(x-2) - 4(x+2) - 16 = 0$$ Раскроем скобки: $$x^2 - 2x - 4x - 8 - 16 = 0$$ Приведем подобные слагаемые: $$x^2 - 6x - 24 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(-24) = 36 + 96 = 132$$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня: $$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{132}}{2(1)} = \frac{6 + \sqrt{4 \cdot 33}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{33}}{2} = 3 + \sqrt{33}$$ $$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{132}}{2(1)} = \frac{6 - \sqrt{4 \cdot 33}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{33}}{2} = 3 - \sqrt{33}$$ Оба корня $x = 3 + \sqrt{33}$ и $x = 3 - \sqrt{33}$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq -2$). **Ответ:** $x_1 = 3 + \sqrt{33}, x_2 = 3 - \sqrt{33}$