Найдите корни уравнения: а) (3x-2)/(x-1) - (2x+3)/(x+3) = (12x+4)/(x^2+2x-3)

Найдём корни уравнений: **а)** $$ \frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{x^2+2x-3} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$, $x \neq -3$. Разложим знаменатель правой части: $x^2+2x-3 = (x-1)(x+3)$. Перепишем уравнение: $$ \frac{3x-2}{x-1} - \frac{2x+3}{x+3} = \frac{12x+4}{(x-1)(x+3)} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x-1)(x+3)$: $$ (3x-2)(x+3) - (2x+3)(x-1) = 12x+4 $$ Раскроем скобки: $$ (3x^2+9x-2x-6) - (2x^2-2x+3x-3) = 12x+4 $$ $$ 3x^2+7x-6 - (2x^2+x-3) = 12x+4 $$ $$ 3x^2+7x-6 - 2x^2-x+3 = 12x+4 $$ $$ x^2+6x-3 = 12x+4 $$ Перенесём все члены в левую часть: $$ x^2+6x-3-12x-4 = 0 $$ $$ x^2-6x-7 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2-4ac = (-6)^2-4(1)(-7) = 36+28 = 64 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{6+8}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$ $$ x_2 = \frac{6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{6-8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 $$ Оба корня $x=7$ и $x=-1$ удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: 7; -1** **б)** $$ \frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{x^2+4x-21} = 0 $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -7$, $x \neq 3$. Разложим знаменатель третьей дроби: $x^2+4x-21 = (x+7)(x-3)$. Перепишем уравнение: $$ \frac{5x-1}{x+7} - \frac{2x+2}{x-3} + \frac{63}{(x+7)(x-3)} = 0 $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x+7)(x-3)$: $$ (5x-1)(x-3) - (2x+2)(x+7) + 63 = 0 $$ Раскроем скобки: $$ (5x^2-15x-x+3) - (2x^2+14x+2x+14) + 63 = 0 $$ $$ 5x^2-16x+3 - (2x^2+16x+14) + 63 = 0 $$ $$ 5x^2-16x+3 - 2x^2-16x-14 + 63 = 0 $$ $$ 3x^2-32x+52 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2-4ac = (-32)^2-4(3)(52) = 1024 - 624 = 400 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{32 + \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32+20}{6} = \frac{52}{6} = \frac{26}{3} $$ $$ x_2 = \frac{32 - \sqrt{400}}{2(3)} = \frac{32-20}{6} = \frac{12}{6} = 2 $$ Оба корня $x = \frac{26}{3}$ и $x=2$ удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $\frac{26}{3}$; 2** **в)** $$ \frac{x}{x^2+4x+4} - \frac{4}{x^2-4} = \frac{16}{x^3+2x^2-4x-8} $$ Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -2$, $x \neq 2$. Разложим знаменатели: $x^2+4x+4 = (x+2)^2$ $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ $x^3+2x^2-4x-8 = x^2(x+2)-4(x+2) = (x^2-4)(x+2) = (x-2)(x+2)(x+2) = (x-2)(x+2)^2$ Перепишем уравнение: $$ \frac{x}{(x+2)^2} - \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{16}{(x-2)(x+2)^2} $$ Приведём дроби к общему знаменателю $(x-2)(x+2)^2$: $$ x(x-2) - 4(x+2) = 16 $$ Раскроем скобки: $$ x^2-2x - 4x-8 = 16 $$ $$ x^2-6x-8 = 16 $$ Перенесём 16 в левую часть: $$ x^2-6x-8-16 = 0 $$ $$ x^2-6x-24 = 0 $$ Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $$ D = b^2-4ac = (-6)^2-4(1)(-24) = 36+96 = 132 $$ $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $$ $$ x_1 = \frac{6 + \sqrt{132}}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{33}}{2} = 3 + \sqrt{33} $$ $$ x_2 = \frac{6 - \sqrt{132}}{2} = \frac{6 - 2\sqrt{33}}{2} = 3 - \sqrt{33} $$ Оба корня $x = 3 + \sqrt{33}$ и $x = 3 - \sqrt{33}$ удовлетворяют ОДЗ. **Ответ: $3 + \sqrt{33}$; $3 - \sqrt{33}$**